求曲線軌跡方程的策略

河北 宋連筠

(作者單位：河北省衡水市鄭口中學)

求曲線軌跡方程的策略

求曲線的軌跡方程是高考的常考題型，往往在解答題的第一問中出現，有時也在選擇、填空題中出現.常考查軌跡方程的求法，以及利用曲線的軌跡方程研究曲線的幾何性質.解題的關鍵是如何找到動點坐標所滿足的等量關系.求軌跡方程的常用方法一般有如下四種，以下分別進行討論.

一、直接法求軌跡方程

整理，得x2=8y.

即動點P的軌跡C為拋物線，其方程為x2=8y.

【評注】直接法是求軌跡方程的基本方法，所謂直接法求軌跡方程，即題目中的條件有明顯的等量關系，或者可以利用平面幾何知識得到等量關系，當所求動點要滿足的條件簡單明確時，直接按“建系，設點，列出條件，代入坐標，整理化簡，限制說明”五個基本步驟，列出含動點M(x，y)的關系式，進而求得軌跡方程.

【解析】設出動點坐標，利用向量數量積公式及模長公式，即可求動點P的軌跡C.

設動點P(x，y)，又點M(4,0)、N(1,0)，

所以(x2-8x+16)=4(x2-2x+1)+4y2，

所以軌跡C是焦點為(±1,0)，長軸長2a=4的橢圓.

二、定義法求軌跡方程

【例2】已知圓心為F1的圓的方程為(x+2)2+y2=32，F2(2,0)，C是圓F1上的動點，F2C的垂直平分線交F1C于M，求動點M的軌跡方程.

【解析】因為F2C的垂直平分線交F1C于M，所以 |MF2|=|MC|.

【評注】圓錐曲線的定義揭示了動點的本質特征.利用定義法求軌跡問題時，往往應先考慮動點滿足的距離關系，判斷它是否滿足熟悉的幾種曲線的定義，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，進而求出該曲線的方程.定義法求軌跡的關鍵是緊扣解析幾何中有關曲線的定義，靈活應用定義，而圓錐曲線的方程隨坐標系的不同而不同，因而掌握定義是根本.

三、代入法求軌跡方程

【解析】設點P的坐標為(x0，y0)，點M的坐標為(x，y)，則點Q的坐標為(0，y0).

【評注】如果軌跡動點M(x，y)依賴于另一動點P(x0，y0)(也稱相關點)，而P(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先列出關于x、y、x0，y0的方程組，利用x、y表示出x0，y0，把x0，y0代入已知曲線方程便得動點P的軌跡方程.這就是代入法求軌跡的方程.當題目中有多個動點的時候，將其他動點的坐標用所求動點P的坐標(x，y)來表示，再代入到其他動點要滿足的條件或軌跡方程中，整理即得到動點P的軌跡方程.

【變式3】過拋物線y2=4x的焦點F作直線與拋物線交于P、Q兩點，當此直線繞焦點F旋轉時，弦PQ中點的軌跡方程為 .

得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)，

設PQ中點為M(x,y)，當x1≠x2時，

即y2=2(x-1).

當x1=x2時，易得弦PQ的中點為F(1,0)，也滿足所求方程.

故所求軌跡方程為y2=2(x-1).

四、參數法求軌跡方程

【解析】 直線l過點M(0，1)設其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.

將①代入②并化簡，得(4+k2)x2+2kx-3=0，

當k不存在時，A、B中點為坐標原點(0，0)，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為4x2+y2-y=0.

【評注】如果軌跡動點M(x，y)的坐標之間的關系不易找到，也沒有相關點可用時，可先考慮將x、y用一個或幾個參數來表示，消去參數即可得軌跡方程.參數法中常選角、斜率等為參數，分別求出動點坐標x，y與參數的關系式，得出所求軌跡的參數方程，消去參數即可，此即為參數法.

【變式4】動圓C:(x-1)2+y2=1，過原點O作圓的任一弦，求弦的中點的軌跡方程.

(作者單位：河北省衡水市鄭口中學)