添項構造法求遞推數列的通項

陜西 侯有岐

(作者單位：陜西省漢中市四○五中學)

添項構造法求遞推數列的通項

數列的遞推公式是給出數列的一種重要方法.一般情況下，給出數列的遞推公式，可以求出數列的通項公式，依據數列的通項公式可以進一步研究數列的其他性質.本文擬從下列幾個方面例析添項構造數列求遞推數列的通項公式的有關技巧.

一、an+1=f(an)型此類問題只需給遞推式兩邊同加數λ即可

【例1】在數列{an}中，若a1=1,an=3an-1+2(n≥2,n∈N*)，求該數列的通項公式an.

【評注】已知an+1=f(an)型遞推公式求數列通項問題，常常在遞推式兩邊加數λ，構造數列{an+λ}，此時數列{an+λ}往往是以a1+λ為首項的等比數列，從而求出an.

【變式1】在數列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3，求該數列的通項公式an.

【答案】an=2n+1-3.

二、an+1=pan+qan-1型此類問題只需給遞推式兩邊同加λan即可

【例2】數列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2，求數列{an}的通項公式.

【解析】遞推式兩邊同時加λan+1，整理得

所以an+2-an+1=(an+1-an)+2，所以數列{an+1-an}是以a2-a1=1為首項，2為公差的等差數列，由此可得an+1-an=1+2(n-1)=2n-1，

所以a2-a1=1,a3-a2=3,…,an-an-1=2n-3，

將以上各式相加得an-a1=(n-1)2.

即an=n2-2n+2,

所以{an}的通項公式為an=n2-2n+2.

【評注】已知an+1=pan+qan-1型遞推公式求數列通項問題，常常在遞推式兩邊加λan，構造數列{an+λan-1}，此時令an+λan-1=bn，則問題轉化為類型一：bn+1=f(bn)型求解.

【變式2】在數列{an}中，若a1=1,a2=5,an+1=5an-6an-1(n≥2),求該數列的通項公式an.

三、an+1=pan+f(n)型

已知an+1=pan+f(n)型遞推公式求數列通項問題，(1)若f(n)=abn+c，則兩邊同時加上λ1bn+1+λ2(c=0取λ2=0)，構造等比數列{an+λ1bn+λ2}求解；(2)若f(n)=an2+bn+c，則兩邊同時加上λ3(n+1)2+λ4(n+1)+λ5.構造等比數列{an+λ3n2+λ4n+λ5}求解.

【例3】數列{an}滿足a1為常數，an=3n-1-2an-1，求數列{an}的通項公式.

【例4】在數列{an}中，已知a1=1,an+1=3an+2n,求該數列的通項公式an.

【解析】遞推式兩邊同時加λ1(n+1)+λ2,

四、an+1=pan+qan-1+f(n)型另外添加λan

【例5】數列{an}滿足a1=0,a2=1,an=-an-1+2an-2+2n-2(n≥3)，求數列{an}的通項公式.

【解析】遞推式兩邊同時加λan-1+λ1·2n-1，整理得

所以可得an=-2an-1+2n-1-1(n≥2),

再給上式兩邊同時加λ2·2n+λ3，

【評注】已知an+1=pan+qan-1+f(n)型遞推公式求數列通項問題，與類型三類似，只要另外添加λan，構造等比數列，轉化為類型三求解.

【變式3】在數列{an}中，已知a1=1,a2=3,an=an-1+2an-2+3n-2(n≥3),求該數列的通項公式an.

【解析】遞推式兩邊同時加λan-1+λ1·3n-1，整理得

所以數列{an+an-1-3n-1}是以λ+1=2為公比，以a2+a1-3=1為首項的等比數列，由此可得an+an-1-3n-1=2n-2,即an=-an-1+3n-1+2n-2,

再給上式兩邊同時加λ2·3n+λ3·2n-1+λ4，

整理得an+λ2·3n+λ3·2n-1+λ4=-[an-1+(-3λ2-1)·3n-1+(-2λ3-1)·2n-2-λ4]，

令λ2=-3λ2-1,λ3=-2λ3-1,λ4=-λ4,

(作者單位：陜西省漢中市四○五中學)