巧用“賦值法”求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和

河南 王蓮霞

(作者單位：河南省鄭州市《中學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)》社有限公司)

巧用“賦值法”求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和

本文擬通過歸類舉例的形式，具體說明：如何借助“賦值法”，巧解二項(xiàng)展開式中的有關(guān)系數(shù)求和問題，以幫助讀者進(jìn)一步拓寬解題思維，提升解題技能.

類型一、關(guān)注具體的“賦值”方式，巧解二項(xiàng)展開式中的系數(shù)求和問題

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)=(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，則常用的賦值方式有：

(1)取x=0，得a0=f(0)；

(2)取x=1，得a0+a1+a2+…+an=f(1)，即(a0+a2+a4+…)+(a1+a3+a5+…)=f(1)；

(3)取x=-1，得a0-a1+a2-…+(-1)nan=f(-1)，即(a0+a2+a4+…)-(a1+a3+a5+…)=f(-1)；

(4)借助平方差公式可得(a0+a2+a4+…)2-(a1+a3+a5+…)2=f(1)·f(-1)；

1. 取x=1，巧解展開式中各項(xiàng)系數(shù)和問題

【例1】(2016·北京模擬)已知兩個正數(shù)a,b滿足(ax+2b)2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016，且二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為1，則ab的最大值是

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【評注】本題求解過程應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是通過適當(dāng)“賦值”可得到二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和；二是通過適當(dāng)“變形”可靈活利用基本不等式巧求最大值.

2.取x=±1，巧解展開式中奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和問題

【例2】已知(1+x-x2)3(1-2x2)4=a0+a1x+a2x2+…+a14x14.

(1)求a1+a3+a5+…+a13的值；

(2)求(a0+a2+a4+…+a14)2-(a1+a3+a5+…+a13)2的值.

【解析】取x=1，則a0+a1+a2+…+a14=1

?(a0+a2+a4+…+a14)+(a1+a3+a5+…+a13)=1； ①

取x=-1，則a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=-1

?(a0+a2+a4+…+a14)-(a1+a3+a5+…+a13)=-1. ②

(1)由①-②化簡得a1+a3+a5+…+a13=1；

(2)由①×②得(a0+a2+a4+…+a14)2-(a1+a3+a5+…+a13)2=-1.

【評注】本題求解過程應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是按an的下標(biāo)歸類，下標(biāo)為偶數(shù)的放在一起，下標(biāo)為奇數(shù)的放在一起；二是關(guān)注兩個等式之間的“加、減、乘、除”變形，以便迅速獲解.

3.取x為其他數(shù)值，巧解展開式中奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和問題

【例3】(2016·西安模擬)已知等式a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5=(x+2)5+(x-1)3對任意x∈R都成立，則a2+a4= .

【解析】取x=0，則由題設(shè)得a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+(-1)3=31

?(a0+a2+a4)+(a1+a3+a5)=31 . ①

取x=-2，則由題設(shè)得a0-a1+a2-a3+a4-a5=-27

?(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)=-27. ②

于是，由①+②化簡得a0+a2+a4=2.

又∵取x=-1，則由題設(shè)得a0=-7，故所求a2+a4=2-a0=2-(-7)=9.

【評注】上述解答過程中①②兩式的獲得，關(guān)鍵在于靈活“賦值”；具體“賦值”時，必須考慮(x+1)n(其中n∈N*)的化簡結(jié)果是否為1或-1.

類型二、借助求導(dǎo)與賦值的“約會”，巧解二項(xiàng)展開式中的系數(shù)求和問題

設(shè)函數(shù)f(x)=(ax+b)n,n∈N*，則由二項(xiàng)式定理可知f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn.于是，借助求導(dǎo)、賦值的處理技巧可得許多有趣的結(jié)論.

例如：求導(dǎo)得f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1，(*)

取x=1，則有a1+2a2+3a3+…+nan=f′(1)； ①

取x=-1，則有a1-2a2+3a3-…+(-1)n-1nan=f′(-1). ②

對(*)式兩邊同乘以x得xf′(x)=a1x+2a2x2+3a3x3+…+nanxn，

求導(dǎo)得[xf′(x)]′=a1+22a2x+32a3x2+…+n2anxn-1，

又[xf′(x)]′=f′(x)+xf′′(x)，

所以取x=1，

則有a1+22a2+32a3+…+n2an=f′(1)+f′′(1). ③

按照這樣的處理思路(乘x、求導(dǎo)、賦值)，有興趣的讀者還可以繼續(xù)探究.

1.直接利用相關(guān)結(jié)論，巧解展開式中有關(guān)系數(shù)和問題

【例4】若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a1+2a2+3a3+4a4+5a5= ，a1+4a2+9a3+16a4+25a5= .

【解析】設(shè)函數(shù)f(x)=(2x-3)5，則求導(dǎo)得f′(x)=10(2x-3)4，f″(x)=80(2x-3)3.于是，根據(jù)上述結(jié)論①即得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=f′(1)=10；根據(jù)上述結(jié)論③即得a1+4a2+9a3+16a4+25a5=f′(1)+f″(1)=10+(-80)=-70.

【評注】本題還可以利用二項(xiàng)式定理先將(2x-3)5展開，分別得到a1,a2,a3,a4,a5的值，然后再求解目標(biāo)問題，顯然如此求解整個過程較煩瑣！

2.借助求導(dǎo)與賦值的靈活性，巧解展開式中有關(guān)系數(shù)和問題

【例5】已知(1-x)2016=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+…+a2016(x-3)2016(x∈R)，則a1-2a2+3a3-4a4+…+2015a2015-2016a2016= .

【解析】設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x)2016，則求導(dǎo)得f′(x)=-2 016(1-x)2015.

又對f(x)=a0+a1(x-3)+…+a2016(x-3)2016求導(dǎo)得f′(x)=a1+2a2(x-3)+3a3(x-3)2+…+2 016a2016·(x-3)2015.

取x=2得a1-2a2+3a3-4a4+…+2 015a2015-2 016a2016=f′(2)=-2 016(1-2)2015=2 016.

【評注】本題具體求解時，也可以這樣處理：直接對已知等式兩邊同時求導(dǎo)，然后再賦值.顯然，整個解題的關(guān)鍵在于——先求導(dǎo)(以x為自變量)，再賦值(注意賦值的靈活性).

(作者單位：河南省鄭州市《中學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)》社有限公司)