圓錐曲線定義的妙用

黑龍江 李雪琳

(作者單位：黑龍江省海林市柴河林業局第一中學)

圓錐曲線定義的妙用

圓錐曲線問題是平面解析幾何問題的重要組成部分，圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質屬性，靈活應用定義解題，許多時候能化繁為簡，是提高綜合運用知識能力的有效途徑.

一、求動點軌跡

【例1】一動圓與兩圓：x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切，則動圓圓心的軌跡為

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A.拋物線 B.雙曲線

C.雙曲線的一支 D.橢圓

【解析】x2+y2=1是以圓心為原點，半徑為1的圓，x2+y2-6x+5=0化為標準方程為(x-3)2+y2=4，是圓心為A(3,0)，半徑為2的圓.

設所求動圓圓心為P，動圓半徑為r，如下圖，

|PA|-|PO|=1<|AO|=3，

符合雙曲線的定義，結合圖形可知，動圓圓心的軌跡為雙曲線的一支.答案為C.

【評注】本題利用直接法與定義法相結合，分析動點運動的條件符合一些幾何量的等量關系，而這些條件簡單明確，在找幾何量的等量關系過程中，結合圖象，易于列出等量關系，通過化簡，得到了一個符合雙曲線定義的式子，最后得出結論.在解這類題型的過程中，要注意參數的選取與設定，巧用定義，從而確定動點的軌跡.

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A.圓 B.橢圓

C.線段 D.直線

故由橢圓的定義知P點的軌跡是橢圓.答案是B.

二、解三角形

【評注】本題是圓錐曲線中焦點三角形問題的常見類型之一，也是最為簡單易解的題型.雖然涉及兩個不同的圓錐曲線，但是它們有一個共同特點，即共焦點，而P點又是它們的公共點，這樣，根據圓錐曲線各自的定義特點，列式并求解，即可得到本題中焦點三角形的三邊長度，再由余弦定理得到頂角的余弦值.今后在遇到此類問題時，注意分析題中的圓錐曲線的位置，結合定義求解.

【變式】已知F1，F2為雙曲線C：x2-y2=2的左，右焦點，點P在C上，|PF1|=2|PF2|，則cos∠F1PF2等于

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三、求離心率

因為四邊形AF1BF2為矩形，

所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12，

所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4,

所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|=12-4=8，

【評注】本題注意觀察圖象，建立等量.在求解|AF2|-|AF1|時，應注意解題的技巧，不提倡通過列方程解未知數的方法，那樣會浪費大量的時間，增加解題難度.首先由橢圓求出|AF1|+|AF2|，由矩形求出|AF1|2+|AF2|2，再求出|AF2|-|AF1|即可求出雙曲線方程中的a，進而求得雙曲線的離心率.

【解析】由雙曲線的定義有|PF1|-|PF2|=2a，

四、求最值

【例4】線段|AB|=4，|PA|+|PB|=6，M是AB的中點，當P點在同一平面內運動時，PM的長度的最小值是________.

【評注】本題首先與圓錐曲線定義相結合，得出動點P的軌跡是橢圓，再根據橢圓的自身特點，得出PM長度的最小值，本題側重考查圓錐曲線的定義，所以，必須熟練掌握定義.

【解析】設雙曲線的左焦點為F′，如圖所示，則F′(-2,0)，

要使|PM|+|PF|取得最小值，只需|PM|+|PF′|取得最小值，

由圖可知，當P、F′、M三點共線時，|PM|+|PF′|最小，

(作者單位：黑龍江省海林市柴河林業局第一中學)