現出你的“圓”形

江蘇 宋衛東

(作者單位：江蘇省連云港市贛榆區教研室)

現出你的“圓”形

在解析幾何中我們經常會遇到一些考查圓的題目，但從表面上看并沒有明顯地呈現圓的面目，而是將圓較深地“潛伏”在已知條件之中，需要我們利用好自己的“火眼金睛”，讓這些“偽裝”的圓原形畢露，現出它們的“圓”形.

一、由式“變出”的圓

【評注】例1的可行域是半圓，利用直線截距的變化來求出最優解.本題的難點在于把握函數解析式的特征，將解析式中的根式理解成半圓方程，通過直線與半圓的位置變化，利用線性規劃思想來解題.

二、由軌跡形成的圓

【評注】解決此類題的方法是根據題意畫出相應的圖形，找出兩圓的公切線的條數即為所求直線l的條數，本題涉及的知識是直線與圓、圓與圓位置的關系，解題關鍵在于通過距離判斷出圓來.

【變式】在△ABC中，頂點B,C的坐標分別是(-1,0),(3,0),BC邊上的中線AD的長度是3，點E(-3，-3)，則AE的最小值為 .

三、由距離之比產生的圓

【例3】(2013·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l:y=2x-4，設圓C的半徑為1， 圓心在l上.若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

【解析】因為圓心在直線y=2x-4上，設圓心C為(a,2a-4)，所以圓C的方程為(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.

化簡得x2+y2+2y-3=0，即x2+(y+1)2=4，

所以點M在以D(0，-1)為圓心，2為半徑的圓上.

四、由相等關系構造的圓

【例4】(2016·蘇北四市期中考試)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:x2+y2-4x=0及點A(-1,0)，B(1,2).在圓C上是否存在點P，使得PA2+PB2=12？若存在，求點P的個數；若不存在，說明理由.

【解析】假設圓C上存在點P，設P(x,y)，則(x-2)2+y2=4，PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12，即x2+y2-2y-3=0，即x2+(y-1)2=4，

所以圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交，所以點P的個數為2.

【評注】像例4這樣，通過相等關系化簡得出x2+y2+Dx+Ey+F=0時，如果滿足D2+F2-4F>0，就可以利用圓的知識，從“形”上來突破.

【變式】若A(-1，0)，B(0，1)，則滿足2PA2-PB2=4且在圓x2+y2=4上的點P的個數為 .

【簡解】設P(x，y)，∵A(-1，0)，B(0，1)，

因為2PA2-PB2=4，

所以2(x+1)2+2y2-x2-(y-1)2=4.

整理得(x+2)2+(y+1)2=8.

所以圓x2+y2=4與圓(x+2)2+(y+1)2=8相交，即滿足條件的P點的個數為2.

五、由坐標轉移生成的圓

【解析】設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

圓M的標準方程為(x-6)2+(y-7)2=25，

因為點Q在圓M上，所以圓M：(x2-6)2+(y2-7)2=25. ②

將①代入②，得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25，

【評注】當一個動點隨著另一相關點運動而運動，而該相關點在某固定的軌道上，滿足的條件明顯，有自己的軌跡方程，我們用動點坐標表示相關點坐標，根據相關點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法我們稱之為坐標轉移法.

【變式】已知△ABC的邊長AB為4，若邊BC上的中線AD的長為3，建立適當的平面直角坐標系，求頂點C的軌跡方程.

(作者單位：江蘇省連云港市贛榆區教研室)