三角形中的綜合問題求解策略

廣東 袁長林

(作者單位：廣東省珠海市第一中學)

三角形中的綜合問題求解策略

學生在小學就已經接觸到三角形，在初中學習了三角形的幾何性質，在高中又將該內容拓展到解三角形.從最初對圖形結構的初步了解，到定性分析，再到定量計算，三角形中的問題層出不窮，近年來受到全國高考命題老師的青睞.對于高考中的三角形綜合問題，很多學生不知如何理解問題，更不知從何下手.本文將解讀三角形中的經典的綜合問題的常見求解策略，為高三學子的復習保駕護航.

一、平面幾何背景

問題本身是平幾形式的背景:三角形、四邊形等，被輔以包裝，知識聯系到向量等內容，往往考查的是工具性的平幾運算.

【解析】此題背景是正弦定理形式，可考慮轉化為邊的關系，進而用特殊的邊或一般形式的邊關系，依托中線的平面幾何背景或余弦定理朝目標轉化，建立函數關系，達到求解問題的目的，基于以上思路產生以下兩種解法：

解法一：由3sinC=2sinB，聯系正弦定理不妨設AB=2，則AC=3,1

又因為4BE2+9=2(4+BC2),4FC2+4=2(9+BC2)，

解法二：設AB=2t，則AC=3t，

在△ACF中同理可得：CF2=10t2-6t2cosA，

其中x=cosA∈(-1,1).

兩種方法相比較，方法一融入了平面幾何關系，方法二的工具性更加明顯，本質上來說是一致的，都體現了平面幾何的工具性.

二、解析幾何化背景

從數據本身分析，條件中的部分關系是解析幾何化的背景，因此可以聯系到圓、橢圓等曲線，利用二次曲線的幾何特征去解決問題.

【解析】a+c=4明顯是一橢圓背景，由此打開思路.

解法：∵a+c=4,∴|BA|+|BC|=4>|AC|.

故點B的軌跡是以A、C為焦點的橢圓，當△ABC面積最大時，點B在短軸的端點上，

∴(2-cosA)cosA=sin2A,

做完本題，意猶未盡，趁熱鞏固下面問題:

【變式1】(2013江蘇省數學時代杯競賽題)

在三角形ABC中，點E、F分別是邊AB、AC的中點，已知CE=6，BF=9,則三角形ABC面積的最大值為________.

三、極端原理

對動態圖形的認識還可以從極端方向入手，從極端(特殊)到一般的思維模式會打開一個又一個懸疑，直至問題解決.

【例3】(全國卷2015年16題，壓軸填空題)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°,BC=2，則AB的取值范圍是________.

【解析】平面四邊形是動態的，通常我們可以考慮將四邊形問題轉化為三角形處理，因此產生了如下解法:

延長BA、CD交于點E.∵∠B=∠C=75°，∴△EBC為等腰三角形，∠E=30°.

極端原理的處理方式也很廣泛，從幾何角度:平面多邊形，空間幾何體；從代數角度:不等式與等式，函數與方程等.

對于極端原理這一處理方式，你會使用了嗎?

【變式】在平面四邊形ABCD中，∠BAD=135°,∠ADC=120°，∠BCD=45°,∠ABC=60°，BC=2，則線段AC長度的取值范圍是________.

四、思想化處理

四種數學思想是解決數學問題的法寶，應該說數學思想是數學核心素養的一部分，在解題中善于引導學生去從思想上思考，尋求問題的突破口.

【解析】既然問題是求最值，說明三角形是動態變化的，因此需要尋求變化中的變量描述，考慮到邊長關系，可以引入長度，考慮線段AB=2，或者可以引入坐標，通過代數途徑需求解決問題的方法，有以下兩種解法：

比較兩種解法，明顯方法二占優勢，計算量小，處理簡潔，究其原因挖掘了解析法——坐標化，其實這種問題屢見不鮮，因為其幾何背景是阿波羅尼斯圓，多次在高考題中出現，值得高三教師關注.

五、易錯性問題

有些問題本身帶有朦朧色彩，即有一定的迷惑性，如果考慮不周會陷入誤區，這也算是思維嚴謹性訓練吧!請看下面問題.

【解析】條件簡單，若做直接運算，利用內角和及誘導公式有如下解法:

如果單純地考慮問題，題目算解決了，但兩個答案總感覺有點不對勁，問題出現在哪里呢?想不通，那就嘗試算一下sinC吧，可能有人問為什么呢?至少和問題有關吧，這是其一，其二是它是正數，那就繼續:

為什么出現增根呢?這時我們仔細排查，發現三角形中有大小關系，漸漸地認識到:∵sinA

想一想:你能否做出幾何方面的解釋?

六、綜合運算問題

有些問題綜合性很強，很大程度上體現在運算上，需要抽絲撥繭式地分析運算的途徑與方式，從而培養靈活的分析問題與解決問題的能力.

【例6】在三角形ABC中，a,b,c分別為三角A,B,C的對邊，若過點C作垂直于AB的垂線CD,且CD=h,則下列給出的關于a,b,c,h的不等式中正確的是

( )

【解析】本題看似眼花繚亂，無從下手，考慮到h的問題，可以聯系三角形的面積.問題是角的處理，考慮最終是求邊的關系，那就大膽使用余弦作為突破口，順藤摸瓜，產生了如下解法:

?a2b2(1-cosC)(1+cosC)=(a2+b2-2abcosC)·h2

?a2b2(1-cosC)(1+cosC)≥(2ab-2abcosC)·h2

?(a+b)2≥c2+4h2.

確實，本題需要過強的三角變形與計算能力，還有化等為不等關系，借助于基本不等式這一工具，不過，仔細斟酌，似乎想起來什么，課本中有一道復習參考題也是類似的變形:證明海倫公式!(人教A版，第20頁B組第2題第一問)

應該說，源于課本，超于課本，是一種命題的很好思路.

【變式】

(1)在三角形ABC中，點M為BC的中點，且BC=4,AM=c-b，求三角形ABC的面積的最大值.

【解析】(1)中線的問題可以考慮建立向量或平行四邊形之等價關系，如下:2(b2+c2)=(2c-2b)2+16?b2+c2-4bc+8=0，下面怎么辦呢?

看問題，面積可以聯系到角，試一下:

(2)考慮垂直關系使用坐標系容易入手，又有長度關系，那就嘗試一下:

(作者單位：廣東省珠海市第一中學)