四大原則在手 函數解題無憂

江蘇 朱建新

(作者單位：江蘇省前黃高級中學國際分校)

四大原則在手 函數解題無憂

函數是高中數學的重要內容，它引入了變量，讓學生在動態中探尋數學的秘密.然而，學生在學習、復習過程中往往會產生比較大的困難，比如思維上有漏洞，解題時胡亂套用方法、模式等，本文結合筆者多年來的教學感悟，總結了復習好函數的一些原則，按照這些原則，函數的解題會變得清晰有趣，可以輕松以不變應萬變.

一、定義域優先原則

【例1】已知函數f(x)=log3x+2,x∈[1,9]，求函數g(x)=f2(x)+f(x2)的值域.

【評注】本題如果不考慮g(x)的定義域，則缺少函數的三要素之一，從而導致值域錯誤.

【例2】已知奇函數f(x)是定義在(-3，3)上的減函數，求不等式f(x-3)+f(x2-3)<0的解集.

【評注】這個不等式問題本質還是函數問題，確定一個函數必須優先求出定義域，這樣才能保證求解的范圍不被放大.

二、單調性為核心原則

【解析】易知f(x)在[0,+∞)上單調遞增，在(-∞,0)上也單調遞增，且x=0時，4x-x2=f(0)，所以可得f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增，故f(2-a2)>f(a)可得2-a2>a，解得-2

【評注】本題由于成功研究了f(x)的單調性，從而抓住了f(x)的本質，避免了因為分段帶來的復雜討論.

【評注】本題f(x)導數的條件使我們研究出了g(x)的單調性，從而不等式轉化為g(x)的不等式，利用g(x)的單調性求解.

又a<0，所以-3≤a<0.

【評注】本題由條件中的不等式獲得了新函數g(x)的單調性，然后用導數解決問題，如果不思考單調性，則題目條件無從下手.

三、圖象為歸宿原則

【例6】已知函數f(x)=x|x-a|+2x，若a>0，關于x的方程f(x)=9有三個不相等的實數解，求實數a的取值范圍.

【評注】本題變形產生了三個簡單的函數的圖象，通過觀察圖象與圖象的交點個數，列出簡單的式子，求出了實數a的取值范圍，避免了復雜的分類討論.

【解析】易知f(x)在[0,+∞)上單調遞增，在(-∞,0)上單調遞增，可畫出f(x)的圖象，

由圖象知，f(x) 的圖象位于函數y=5的圖象下方的部分對應的自變量的范圍為(-∞,1)，

所以不等式f(2x2-|x|)≤5可轉化為2x2-|x|≤1，解得0≤|x|≤1,即[-1,1].

【評注】本題從函數圖象角度思考不等式f(x)≤5，從而不等式f(2x2-|x|)≤5可轉化為2x2-|x|≤1，避免了純代數思考的復雜運算.

四、對稱性與周期性輔助原則

【評注】本題如果忽略了f(x)的對稱性思考，則不等式無法轉化，從而無法突破運算的障礙.

又因為f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-f(x)，所以可知f(x)為奇函數.

由x3+sinx-2a=0,4y3+sinycosy+a=0，可得f(x)=x3+sinx=2a,f(2y)=(2y)3+sin2y=-2a，所以f(x)+f(2y)=0.

【評注】本題只考慮單調性運算有障礙，不能成功解決問題，借助奇函數性質的幫忙才能運用單調性解決問題.

【例10】已知函數f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數，若對于任意的實數x≥0，都有f(x+2)=f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)=log2(x+1)，求f(-2 011)+f(2 012)的值.

【解析】當x≥0時，由f(x+2)=f(x)知f(x)周期為2，所以f(2 012)=f(0)=0，

又f(x)為奇函數，所以f(-2 011)=-f(2 011)，再由周期性得f(2 011)=f(1)=1,

所以f(-2 011)+f(2 012)=-1+0=0.

【評注】本題考查了函數的對稱性和周期性，兩個性質熟練運用，輕松獲得答案.

(作者單位：江蘇省前黃高級中學國際分校)