新課標高考壓軸題的解答模式

寧夏 張 興 李雪琴

(作者單位：寧夏回族自治區固原市第二中學，寧夏回族自治區固原市回民中學)

新課標高考壓軸題的解答模式

函數是高中數學的重要內容,它的觀點和方法貫穿了高中數學的全過程.因此函數知識可以有效地承載中學數學核心素養，所以新課標高考試題每年的壓軸題無一例外均為函數綜合題.在高考所有數學內容中函數是對知識和能力的要求最高的，所以對函數壓軸題深入研究，既有利于培養學生的數學綜合素養，又有利于做好高中數學教學工作.筆者把近十年高考中的函數壓軸題進行分析、歸類，發現其內容主要涉及切線、單調極值、求參數范圍和證明不等式四類問題.每一類問題的解答方法具有一定的相似性，因而可以采用模式化的方法解答.

一、切線問題

從數量上看，近十年文、理科30套試題中出現考查切線問題的共有13個，對知識和能力的考查屬于中等層次，都在第一問.主要針對導數的幾何意義，涉及過函數圖象上某一點的切線，大多數與求參數值結合在一起.

又∵切點(1,b)，∴斜率k=f′(1)=ae,

∴切線方程：y-b=ae(x-1).

【總結】解答這類題的模板是：

二、函數的單調性、極值、最值

高考壓軸題中關于函數單調性、極值、最值問題，近十年試卷中共出現了17個，幾乎全部都在第一問.按是否含有參數分為兩類：第一類，不含有參數函數的單調性、極值、最值，共有12個.第二類，含有參數函數的單調性、極值、最值，共有5個.

題型1：不含有參數函數的單調性、極值、最值

x-32，-1()-1-1，-12()-12-12，+∞()f′(x)+0—0+f(x)增減增

【總結】解答本題的順序是求定義域、求導數、求零點、列表、回答問題.

題型2：含有參數函數的單調性、極值、最值

【例3】(2015·新課標文·21)已知函數f(x)=lnx+a(1-x).(1)討論f(x)的單調性.(節選)

①當a=0時，沒有零點，f′(x)>0, ∴f(x)在定義域(0,+∞)上為單調遞增函數.

x0，1a()1a1a，+∞()f′(x)+0—f(x)增極大值減

∴f(x)在定義域(0,+∞)上為單調遞增函數.

【總結】解答本題的順序是求定義域、求導數、求拐點、列表、回答問題.在求拐點時，需要根據參數的取值討論拐點個數，再進行分類解析，最后必須要綜合回答.

解答這類題的模板是：

這類題的難點：(1)何時討論參數？由于題目條件的不同，有的在求零點時討論，有的在列表時討論；(2)如何討論參數？需要根據題目的條件確定，有時還需參考自變量的取值范圍，討論的關鍵是做到不重不漏.

三、求參數范圍

壓軸題中求參數范圍問題，近十年文、理科壓軸題中共出現了11個，全部都在第二問.這種類型題從條件上看大多為指數型函數的混合函數或復合函數，都是在給定未知數x取值范圍的條件下，在一個不等式中求參數的范圍.

【例4】(2010·新課標文·21)設函數f(x)=x(ex-1)-ax2.(Ⅱ)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.(節選)

【解析】方法(1)：圖象法.

當x≥0時，f(x)≥0?x(ex-1-ax)≥0，

所以x≥0?ex-1-ax≥0?ex≥1+ax，x≥0.

設y1=ex,y2=1+ax(其中x≥0)，則y1圖象在y2圖象的上方.

因為兩個圖象都通過(0，1)，只需y1在(0，1)處的切線在y2圖象的上方.

又因為y1=ex在(0，1)處的切線方程是y=x+1，所以x+1≥1+ax，所以a≤1即a∈(-∞,1].

說明：本題的解答順序是分離函數(一邊化為指數函數另一邊化為一次函數)、作出函數圖象、根據圖象位置建立新的不等式、解不等式.

方法(2)：求參數討論參數，部分肯定部分否定法.

f(x)=x(ex-1-ax)，令g(x)=ex-1-ax，則g′(x)=ex-a.

若a≤1，則當x∈(0,+∞)時，g′(x)>0，g(x)為增函數，

而g(0)=0，從而當x≥0時g(x)≥0，即f(x)≥0.

當a>1時，g′(x)=ex-a=0?x=lna，

x(0，lna)lna(lna，+∞)g′(x)—0+g(x)減極小值增

則當x∈(0,lna)時，g′(x)<0，g(x)為減函數，而g(0)=0，從而當x∈(0,lna)時，g(x)<0，即f(x)<0.

綜合上述兩種情況得a的取值范圍為(-∞,1].

【總結】本題的解答順序是求函數定義域、求導數、求拐點(根據參數取值情況討論有無拐點)、列表、利用單調性建立新的不等式、確定參數的范圍(排除不符合條件的不等式).

解答這類題的核心模板是：

四、證明不等式(恒等式)

壓軸題中關于不等式(恒等式)的證明，近十年試題中共出現了10個，其中與零點有關的不等式有4個，證明函數不等式的有6個，基本上都是第二問.

題型1：與函數有關的不等式

【總結】本題的解答順序是求函數定義域、求導數、求拐點(根據參數取值情況討論有無拐點)、列表、利用單調性建立新的不等式.

【例6】(2013·新課標理·21)已知函數f(x)=ex-ln(x+m).(Ⅰ)設x=0是f(x)的極值點，求m,并討論f(x)的單調性；(Ⅱ)當m≤2時，證明f(x)>0.

【解析】(Ⅰ)略;(Ⅱ)當m≤2時,x∈(-m,+∞)時，

ln(x+m)≤ln(x+2),

∴ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2).

故只需證明當m=2時,f(x)>0,

即證明f(x)=ex-ln(x+2)>0.

由函數知定義域為(-2,+∞),

又f′(-1)<0，f′(0)>0,故f′(x)=0在(-2,+∞)有唯一實根x0，

x(-2，x0)x0(x0，+∞)f′(x)—0+f(x)減極小值增

綜上，當m≤2時，f(x)>0.

【總結】本題的解答順序是構造新函數、求其定義域、求導數、求拐點(根據參數取值情況討論有無拐點)、列表、利用最值建立新的不等式.

題型2：與零點有關的不等式

【例7】(2016·新課標理Ⅰ·21)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.(Ⅰ)求a的取值范圍；(Ⅱ)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

【解析】(Ⅰ)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)·(ex+2a).

①設a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點.

②設a>0,則當x∈(-∞,1)時,f′(x)<0;當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增.

③設a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

又當x≤1時,f(x)<0,所以f(x)不存在兩個零點.

又當x≤1時,f(x)<0,所以f(x)不存在兩個零點.

綜上,a的取值范圍為(0,+∞).

(Ⅱ)不妨設x1

由(Ⅰ)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞)，

∴2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上單調遞減，

∴要證x1+x2<2即證x1<2-x2，即證f(x1)>f(2-x2)，即要證f(2-x2)<0.

∵f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,

∴f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex).

所以當x>1時,g′(x)<0,而g(1)=0,故當x>1時,g(x)<0.

從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.

【總結】解答本題的關鍵是把零點不等式x1+x2<2轉化為關于函數f(x1)>f(2-x2)的不等式、再化簡為不等式f(2-x2)<0、求導數、利用單調性構造新不等式、化簡.

解答這類題的核心模板是：

(作者單位：寧夏回族自治區固原市第二中學，寧夏回族自治區固原市回民中學)