概率論在高等數學中的應用

熱孜亞·熱吉甫

【摘要】高等數學是難度較大的課程，尤其是數學課程中的計算問題及證明問題成為數學學習的主要阻礙，概率論是研究隨機現象數量規律的數學分支，實踐證明如果在數學應用中合理地引入概率論不僅能夠提高數學解題效率，而且還能提升學生的學習積極性.因此，本文結合教學經驗，闡述概率論引入到高等數學中的具體應用體現，以此進一步完善概率論發展.

【關鍵詞】概率論；高等數學；應用；效率

高等數學學習經常會遇到比較難的計算問題，如果不能找到科學的計算方法，不僅影響學生的學習興趣，而且還會增加解題的步驟.概率論是研究隨機現象數學規律的知識，實踐證明在數學解題過程中合理地引入概率論可以將復雜的問題簡單化，幫助學生快速地解答，進而激發學生的學習興趣.因此，在高等數學的學習與應用中要巧妙地引用概率論以提高高等數學教學的效率.

一、概率論的概述

概率論是研究隨機性和不確定性等現象的數學學科.概率論研究始于17世紀中期，是由瑞士數學家雅科比·伯努利在“伯努利大數定理”中提出的，并且隨著概率論的不斷發展，其應用的領域也在不斷發展.概率論說明了理論與實踐之間的密切關系，尤其是在數學領域內概率論已經得到全面的應用與發展，正如拉普拉斯所說：“生活中最重要的問題，其中絕大多數在實質上只是概率的問題.”在概率論中，概率分布是基礎性概念，利用概率分布的性質可以進行化簡.就是說，使用大于0而小于1的數字對某些事件發生的概率進行構造，然后按照概率分布解決實際問題.

二、概率論在高等數學中的應用

眾所周知，高等數學部分內容的難度較大，如果采取傳統的解題思路進行計算，不僅解題的步驟煩瑣，而且得到的結果在準確性上也不高，甚至難度大的題目還會影響學生的學習積極性，久而久之則會導致學生對數學知識失去興趣，將概率論引入到高等數學應用中，對簡化解題步驟、降低題目難度都具有積極的意義.結合教學經驗，概率論在高等數學中的應用具體體現在：

（一）概率論在高等數學不等式中的應用

概率論是研究偶然事件規律性的數學課程，通俗講就是事件發生可能性的大小，隨機事件就是在一定的條件下可能發生或者可能不發生事件.不等式是高等數學的重要知識點，也是學生普遍感覺學習困難的知識點，因此，將概率論應用到不等式中，是因為不等式與概率論存在某些相似性，例如，概率論的思想包含了對非等式問題的研究，都是對某些概率的規律總結與研究.下面通過以下例子進行說明.

例1求證：如果k=1，2，3，…，n；xk≥0，則x1x2x3…xn≤x1+x2+x3+…+xnn.

證明首先要建模，設隨機變量ξ分布是P（ξ=xb），b=1，2，3，…，在存在xb=0的情況下，x1x2x3…xn≤x1+x2+x3+…+xnn顯然是成立的，在全部的xb>0的情況下，定義函數f（a）=lna（a>0），那么f（a）=lna（a>0）就是上凸函數，則由f（E（ξ））≥Ef（ξ）：ln∏nb=1xb1n=1n∑nb=1lnxb=E（f（a））≤f（Ea）=ln（Ea）=ln1n∑nb=1xb.

兩邊分別取e作為底的指數，則可以得到

x1x2x3…xn≤x1+x2+x3+…+xnn.

（二）概率論在廣義積分中的應用

概率論是解決廣義積分問題的主要手段，也是在廣義積分解題中應用比較成熟的方法之一.另外，在高等數學中求解級數是難度較大的題目，因此，更應注重數學期望與方差知識的引入，進而化簡解題過程，得出結果.具體應用如下所示：

例2∑a223a-1，解答時構造服從于P=13幾何分布的隨機變量ξ，則P（ξ=a）=1323a-1；E（ξ）=3，D（ξ）=6.

顯然Eξ2=E（ξ）2+D（ξ）=15，并且

Eξ2=lim∞n=1a21323n-1=13lim∞n=1a223n-1=15.

最終得出∑n=1a223n-1的值為45.

其次，解答高等數學問題時可變形被積函數，將其轉變為正態分布隨機變量的數學期望，再進行適當運算，便能順利地解答出相關題目.

例如，求解：∫+∞-∞（4a2+5a+6）b-（a2+2a+3）da.

分析該題目可知原被積分函數中包含因式b-a2+2a+3），因此，可先對其進行適當整理，配方后得出b-2b-（a+1）2.觀察可知其剛好屬于σ=12，μ=-1正態分布概率密度函數的組成部分，所以=hb24（-1）2+122+5（-1）+6=7hb2.

最終得出原積分的數值為7hb2.

最后，計算積分時可采用分部計算法，但是利用該種計算方法需要多次運用分部積分法，同時還要進行極限的計算，因此，計算過程十分煩瑣.為高效地解答出相關題目，可借助指數分布隨機變量的數學期望解答相應題目，以降低解題難度.

（三）利用概率模型求解高等數學問題

例如，計算∑nk=2Cknxkyn-k（x>0，y>0）這一題目時，需首先對其進行分析.即依據不均勻規則將一枚硬幣共拋出n次，每次硬幣掉落在地面上時正面朝上的概率為P=xx+y，在上拋n次整個過程中出現正面次數用字母T表示，于是P={T=k}=CknPk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），由分布規律理論可知：

1=∑nk=0P{T=k}=∑nk=0CknPk（1-P）n-k

=∑nk=0Cknxx+ykyx+yn-k.

最后便可順利地得出該題目的計算結果：

∑nk=2Cknxkyn-k=（x+y）n-yn-nxyn-1.

三、結束語

很多高等數學題目難度較大，為降低解題難度，教學實踐中教師應幫助學生正確理解概率論的相關概念，并積極地鼓勵和引導學生使用概率論知識分析數學問題，尋找出簡單的解題思路，進而提高解題效率，保證計算結果的正確性，幫助學生樹立起解答數學問題的信心，逐步培養其學習高等數學的熱情.

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