探索數(shù)學(xué)規(guī)律 拓展思維深度

虞福平

數(shù)學(xué)家們認(rèn)為“數(shù)學(xué)是思維的體操”，可以“培養(yǎng)智力使之敏銳”。然而，在我們的數(shù)學(xué)課堂經(jīng)常會(huì)因?yàn)闀r(shí)間的顧慮而減少了思維的碰撞，學(xué)生的思維深度和廣度得不到充分培養(yǎng)。其實(shí)，思維在于啟發(fā)，在于生成，它留給學(xué)生的不是知識(shí)的結(jié)果，而是腦海里形成的過(guò)程。規(guī)律的探索就是激發(fā)思維的一種有效手段，它讓學(xué)生從研究中思考，從結(jié)論中總結(jié)，變外在為本質(zhì)，更加豐富生動(dòng)地掌握知識(shí)。下面是我圍繞書本的一道習(xí)題深入挖掘，拓展學(xué)生思維深度的教學(xué)案例：（蘇教版六年級(jí)上冊(cè)）

5.畫一個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方形。

（1）這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加■后，各是多少厘米？先算一算，再畫一畫。

（2）現(xiàn)在長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？現(xiàn)在長(zhǎng)方形的面積是原來(lái)的幾分之幾？

6.任意畫一個(gè)長(zhǎng)方形，再把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加■。先算出現(xiàn)在長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再算出現(xiàn)在長(zhǎng)方形的面積是原來(lái)的幾分之幾。

比較上面兩題的計(jì)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

如果按照書上的習(xí)題的問法與要求，那學(xué)生在最多10分鐘的時(shí)間內(nèi)就能解決，但就這個(gè)規(guī)律的重點(diǎn)沒有顯現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生在要求下步步到位，很難真正的內(nèi)化并吸收，而且在規(guī)律得出后，沒有體會(huì)優(yōu)點(diǎn)的過(guò)程，學(xué)生很容易把它當(dāng)成普通的知識(shí)，無(wú)法激起更多研究的熱情?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，我進(jìn)行了如下的拓展。

規(guī)律雛形：

我不僅要求學(xué)生找出現(xiàn)在的面積是原來(lái)面積的幾分之幾，為讓學(xué)生把原理也弄清楚，我增加了下面幾條要求：

現(xiàn)在的長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)的幾分之幾？

現(xiàn)在的寬是原來(lái)寬的幾分之幾？

現(xiàn)在的周長(zhǎng)是原來(lái)周長(zhǎng)的幾分之幾？

學(xué)生通過(guò)我的引導(dǎo)和自己舉例推斷發(fā)現(xiàn)：只要長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都增加■，那它現(xiàn)在的長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)的■，現(xiàn)在的寬是原來(lái)寬的■，現(xiàn)在的面積是原來(lái)面積的■，現(xiàn)在的周長(zhǎng)是原來(lái)周長(zhǎng)的■；周長(zhǎng)與長(zhǎng)和寬都是一樣的，只要把原來(lái)的看做單位“1”，用1+■就可以得出，而面積正好是■的平方。

規(guī)律深入：

整體要求：四人一小組根據(jù)老師給的增加的分率，任意寫一個(gè)長(zhǎng)方形，像剛才那樣研究，看看能不能找出面積、周長(zhǎng)、長(zhǎng)與寬變化對(duì)應(yīng)的分率。

第一大組：長(zhǎng)和寬都增加■，第二大組：長(zhǎng)和寬都增加■，第三大組：長(zhǎng)和寬都增加■。

【學(xué)生在進(jìn)行討論的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生有上面的提示，規(guī)律都尋找得很正確，小組完成后，還在大組中討論，更有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了規(guī)律中的規(guī)律，顯得異常的興奮?！?/p>

結(jié)果匯報(bào)：

■

續(xù)表

■

剛匯報(bào)完，已經(jīng)有學(xué)生急于回答：面積變化對(duì)應(yīng)得分率都是周長(zhǎng)、長(zhǎng)或?qū)捵兓瘜?duì)應(yīng)分率的平方；周長(zhǎng)、長(zhǎng)和寬變化的對(duì)應(yīng)分率只要用1+增加的分率。

【看到這樣的回答，我認(rèn)為自己的延伸是正確的，他們?cè)诜e極的思維，已經(jīng)使這種過(guò)程演變成了結(jié)果，學(xué)習(xí)的積極性完全被調(diào)動(dòng)?！?/p>

規(guī)律總結(jié)：

對(duì)學(xué)生的要求：如果不再借助具體的長(zhǎng)方形數(shù)據(jù)進(jìn)行探索，直接給出增加的分率，能否說(shuō)出面積、周長(zhǎng)、長(zhǎng)和寬相對(duì)于原來(lái)的分率。

列舉兩組：長(zhǎng)和寬都增加■；長(zhǎng)和寬都增加■。

學(xué)生回答得很順利，速度也很快，對(duì)于中下生也能立刻得出。

拋出總結(jié)：如果長(zhǎng)和寬都增加■，那又該如何呢？

學(xué)生也沒有遲疑，得出：現(xiàn)在的長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)的（1+■），現(xiàn)在的寬是原來(lái)寬的（1+■），現(xiàn)在的面積是原來(lái)面積的（1+■）的平方，現(xiàn)在的周長(zhǎng)是原來(lái)周長(zhǎng)的（1+■）。

強(qiáng)調(diào)這個(gè)結(jié)論的前提是長(zhǎng)和寬都增加，如果是一個(gè)增加的話，結(jié)論就未必了。

規(guī)律本質(zhì)：

為讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到規(guī)律的本質(zhì)，把探索變成肯定，我又從如下進(jìn)行說(shuō)明：

如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是a，寬是b，長(zhǎng)和寬都增加■，它現(xiàn)在的面積如何計(jì)算？

現(xiàn)在的長(zhǎng)：（1+■）a=■，現(xiàn)在的寬：（1+■）b=■，現(xiàn)在的面積：■×■=■×■×（ab）兩個(gè)■相乘就是平方。

【講完后，我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生都是理解的，也有一種原來(lái)如此的感覺，這時(shí)就是把合情推理與演繹推理進(jìn)行了結(jié)合，兩部分的沖擊，鞏固了結(jié)論?！?/p>

規(guī)律對(duì)比：

對(duì)比一：在一個(gè)長(zhǎng)方形中長(zhǎng)和寬增加的分率不同，面積相對(duì)于原來(lái)有怎樣的變化。

對(duì)比二：在一個(gè)長(zhǎng)方形中長(zhǎng)和寬中只有一個(gè)增加分率，面積相對(duì)于原來(lái)有怎樣的變化。

對(duì)比三：如果是一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)寬高都增加分率，體積相對(duì)于原來(lái)有怎樣的變化。

對(duì)比四：如果是一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)寬高中只有一個(gè)增加分率，體積相對(duì)于原來(lái)有怎樣的變化；如果長(zhǎng)寬高中有兩個(gè)增加分率，體積又怎樣。

【這三個(gè)對(duì)比要求出示，學(xué)生結(jié)合我的提點(diǎn)，都能從演繹推理中認(rèn)識(shí)到該怎樣變化，他們肯定了答案，有學(xué)生發(fā)出驚嘆，原來(lái)就是這么簡(jiǎn)單的聯(lián)系。從他們對(duì)知識(shí)肯定的態(tài)度可以看出，他們接受了這部分知識(shí)，也感覺到了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，更變學(xué)習(xí)為主動(dòng)，愿意去思維，而不是懼怕。在這種對(duì)比中，也增強(qiáng)了知識(shí)的靈活度，潛移默化地提醒學(xué)生要審清題意，不能從粗略中就給出結(jié)論，差之毫厘，謬以千里?！?/p>

這節(jié)課我通過(guò)層層深入拓展學(xué)生的思維深度，共同建構(gòu)數(shù)學(xué)的美麗橋梁，積累更多探究的經(jīng)驗(yàn)。讓學(xué)生真正感受到探索中的艱辛、發(fā)現(xiàn)中的愉悅，也讓數(shù)學(xué)的魅力得到了充分的體現(xiàn)。