二面角的向量求法初探

在用傳統的幾何方法計算二面角的大小時，有時不容易確定二面角的平面角，而利用向量來求解二面角問題卻比較簡便。向量方法求的二面角平面角的大小通常有兩種方法。

一、是根據二面角的平面角的定義

首先我們一起回顧一下二面角的平面角的定義：在棱上找一點O，在二面角的兩個半平面內分別作棱的垂線AO，BO，則∠AOB為二面角的平面角。而根據二面角的平面角的定義利用向量求解二面角的方法原理是：如圖1，若AB、CD分別是二面角α-l-β的兩個半平面內與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就等于向量[AB]與[CD]的夾角的大小。

例1 如圖2，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，沿對角線AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好在AB上，求這時二面角B-AC-D的余弦值。

解：如圖2，作DG⊥AC于G，BH⊥AC于H，

在Rt△ADC中，

[AC=AD2+CD2]，[cos∠DAC=ADAC=35]

在Rt△ADG中，

[AG=ADcos∠DAG=3×35=95]，

[DG=AD2-AG2=125]

同理[cos∠BCA=35]，

[CH=95]，[ BH=1235]，

[∵AD·BC=AE+ED·BC=AE·BC+ED·BC=0]，

[∴GD·HB=GA+AD·（HC+CB）]，

[=GA·HC+GA·CB+AD·HC+AD·CB]，

[=95×95+95×3×35+3×95×395+0=8125]。

又[GDHB=14425]，

[∴cosGD，HB=916]，

即所求余弦值為[916]。

在本例中，作出垂直于棱的兩個向量，將求二面角的大小轉化為求這兩個向量的夾角，這里兩向量的起點應在棱上（或方向沿各自的半平面由棱指向外）。與傳統的幾何方法相比，采用向量方法時作輔助線有更大的自由度，即無須從棱上的同一點作棱的垂線。

二、是利用平面的法向量求解

利用平面的法向量求解的方法是：如圖3，設[n1]、[n2]是二面角α-l-β的兩個半平面α、β的法向量，則向量[n1]與[n2]的夾角（或其補角）的大小就等于二面角的平面角的大小。此法適合圖形比較復雜，甚至于棱未畫出的情形。這種“傻瓜式”的方法往往無須添加輔助線，其優點顯而易見。但該法也有一個弱點，就是求出[n1]與[n2]的夾角后，還要結合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角，進而確定二面角的大小。解決這個問題的方法有兩種：

1.選取法向量的方向

解鈴還須系鈴人，產生上述問題的原因在于，利用平面的法向量解題時，選取的法向量是隨意的。于是對于一個平面的法向量將可選取兩個相反的方向，所以這個隨意性將導致在選取兩個半平面的法向量時，出現以下四種情形（如圖4）。

當選取的法向量的方向如（1）、（2）時，向量[n1]與[n2]的夾角與二面角的平面角互補；當選取的法向量的方向如（3）、（4）時，向量[n1]與[n2]的夾角與二面角的平面角相等。

我們發現（3）、（4）有共同特點就是兩個法向量關于棱的環繞方向相同，所以當我們在選取法向量的方向時，可使兩個半平面的法向量關于棱有相同的環繞方向，其后求出的[（n1，n2）]就等于二面角的大小。

例2 如圖5，已知在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°， SD⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=[12]。求面SCD與面SBA所成二面角的平面角的余弦值。

解：如圖5，建立空間直角坐標系，則B（0，1，0），D（[12]，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），A（0，0，0），[AD=（12，0，0）]，[SC=（1，1，-1）]，[SD=（12，0，-1）]。

∵AD⊥AB且SA⊥平面ABCD，

∴AD⊥平面SAB。

∴[AD]是平面SAB的一個法向量。

設[n=（x，y，z）]是平面SCD的一個法向量，

由[n⊥SCn⊥SDn?SC=0n?SD=0]

∴[x+y-z=012x-z=0x=2zy=-z]

令z=1，則[n=（2，-1，1）]，

∴[cos（AD，n）=AD?nAD?n=63]，

∴面SCD與面SBA所成二面角的平面角的余弦值是[63]。

在本例中，[AD]是平面[SAB]的一個法向量，再找出平面[SCD]的一個法向量[n]。這兩個半平面的法向量關于棱有相同的環繞方向，所以利用夾角公式求出的[（AD，n）]就等于二面角的大小。

2.利用點的射影的位置判定二面角是銳角還是鈍角

在一些具體問題中，由于觀察角度的原因，不易判斷二面角是銳角還是鈍角，法向量關于棱的環繞方向也不易確定時，可利用半平面內的一點（不在棱上）在另一個半平面上的射影的位置來確定。

如圖6，P是半平面α內的一點（不在棱上）。

例3 如圖7，在四棱錐[S-ABCD]中，底面[ABCD]為正方形，側棱[SD]⊥底面[ABCD]，[SD=2CD]，[F]是[SC]的中點.求二面角[S-AF-D]的平面角的余弦值.

解：如圖7，以D為原點，[DA，DC，DS]的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz.

令CD=1，則SD=2，

∴A（1，0，0），S（0，0，2），B（1，1，0），C（0，1，0），[F（0，12，1）]，[AS=（-1，0，2）]，[AF=（-1，12，1）]，

設[n=（x，y，z）]是平面ASF的一個法向量，

由[n1⊥ASn1⊥AFn1?AS=0n1?AF=0]

∴[x，y，z?-1，0，2=0x，y，z-1，12，1=0-x+2z=0-x+12y+z=0]

取z=1則[n1=（2，2，1）]

同法可求得平面[DAF]的一個法向量[n2=（0，2，-1）]。

∴[cosn1，n2=n1?n2n1?n2=55]。

可證點[D]在另一個半平面[ASF]上的射影[G]落在半平面[ASF]外（如圖7），

則二面角S-AF-D的平面角為鈍角。

∴二面角S-AF-D的平面角的余弦值為[-55]。

在本例中，二面角S-AF-D的平面角是銳角還是鈍角不易判斷，法向量關于棱的環繞方向也不易確定，所以利用半平面DAF內的一點D（不在棱上）在另一個半平面ASF上的射影G的位置來確定。

綜上，向量是解決立體幾何問題的有力工具，利用空間向量計算二面角的大小，方法簡便，易于操作。尤其是利用平面法向量解題，可以避開傳統幾何中作圖、證明的麻煩，又可彌補空間想像力的不足，發揮代數運算的長處，可以有效地提高解題能力。

作者簡介：

許武榮（1975—），男，福建省漳州市詔安縣，本科，中學一級教師，研究方向：高中數學教學。