教學：走進數學知識的“內核”

李軍

[摘 要]乘法分配律是運算律單元的教學重點。通過舉例驗證、觀察比較、提出猜想、發現規律、引出規律，讓學生感悟基本的推理、模型、化歸等數學思想。在此基礎上，教師要引導學生聯系運算的意義、現實背景中的數量關系或幾何圖形，進行更加深入的思考，從而走進知識的“內核”。

[關鍵詞]乘法分配律；數學思想；數學知識的內核

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）20-0006-02

【課前思考】

乘法分配律是學生在已經掌握了乘法交換律、結合律，并能初步應用這些定律進行一些簡便計算的基礎上進行學習的內容，它聯系了乘法和加法兩種運算，溝通了這兩種運算之間的關系。乘法分配律是運算律單元的教學重點，教材是按照分析題意、列式解答、講述思路、觀察比較、總結規律等順序呈現的。熟練掌握乘法分配律是進行簡便計算的前提和依據，對提高學生的計算能力有著重要的作用。

人教版、蘇教版、北師大版等教材，幾乎都是從購物、貼瓷磚等生活問題中引入乘法分配律，在不完全歸納推理的基礎上，引導學生通過比較逐步發現規律。大部分教師教學時都是從學生的生活入手，讓學生在熟悉的情境中理解乘法分配律的生活意義，但有意義的教學不能止于此，更應該揭示乘法分配律的數學意義，搭建“生活數學”與“學科數學”之間的橋梁，讓學生的學習觸及數學的本質，走進知識的“內核”。因而，教師要準確把握運算律的本質及價值，強化乘法分配律的內在意義。這樣，不僅有助于提高教學的針對性和有效性，而且有助于加深學生對運算本身的理解，幫助學生感悟蘊含在知識中的數學基本思想。

我遵循教材編寫的特點，在充分吃透教材編寫意圖的基礎上進行了適度的補充——除了引導學生進行舉例驗證之外，還讓學生充分觀察后提出猜想、發現規律。在此基礎上，我還將運算的意義、現實背景中的數量關系或幾何圖形聯系在一起，進一步凸顯乘法分配律的合理性，引導學生展開更加深入的思考。這樣的教學才是有意義的，才能觸及知識的“內核”。

首先，在探索規律的過程中感受合情推理的價值。對于學生而言，運算律是抽象和概括一些等式的規律。從知識邏輯來說，運算律與相關運算的意義是相伴相生的。數學家在定義四則運算的同時需要思考“能否由定義出發合乎邏輯地推導出相應的運算律”。如果能把這個本質上屬于演繹推理的過程，與小學數學通常采用的探索、發現過程結合起來，就可以讓學生在探究新知的同時獲得一種“頓悟”感，從而感受演繹推理思想的力量。

其次，在多元表征運算律的過程中感受簡單的模型思想。在借助實例初步歸納出乘法分配律的基礎上，重點是引導學生用合適的方式把自己發現的規律表示出來，這個過程也稱為“表征運算律”。教師不能僅僅滿足于讓學生采用不完全歸納法發現規律，還要注重從生活表征到圖形表征再到數學表征的抽象過程。一般來說，運算律表征的方式主要有三種：語言表征、圖形表征和符號表征。其中，圖形表征和符號表征具有初步數學建模的意味，經歷這個過程有助于讓學生初步感受模型思想與數形結合思想，體會不同數學表征方式的特點和價值，提高學生學習數學、應用數學的興趣。

最后，在應用規律的過程中感受化歸思想。學生探究和發現乘法運算律，主要依靠合情推理，那么應用運算律進行一些簡便計算，就是進行演繹推理，而簡便計算的過程也體現了“等值變形”的化歸思想。因此，教師不僅要重視引導學生分析、思考每一步運算的依據，讓學生做到有根有據、有條有理地思考，而且要適當引導學生體會化難為易、化繁為簡、化陌生為熟悉的策略價值，感受化歸思想。

【教學實錄】

一、問題導入，引發思考

師：學校要組織運動會，各班同學也在積極備戰、刻苦訓練。看到這幅圖，你能想到什么數學問題呢？請提出需要兩步或兩步以上計算的問題。

生1：四、五年級一共領了多少根跳繩？

生2：四年級比五年級多領了多少根跳繩？

生3：四、五年級一共有多少人？

師：我們先來解決生1和生2提出的問題。請列綜合算式解答。

二、探究交流，提出猜想

1.交流：自由生長

生1：4×24+6×24=96+144=240（根）。（第一種方法）

生2：（4+6）×24=10×24=240（根）。（第二種方法）

生3：40×6+50×4=440（人）。

師：為什么對于第一個問題有兩種不同的解法，對于第二個問題卻只有一種解法？第一題的第一種方法和第二種方法是怎么得到的？

生4：第一種方法是分別求出四、五年級各領了多少根跳繩，再求兩個年級一共領了多少根跳繩；第二種方法是先求出四、五年級一共有多少個班，再求兩個年級一共領了多少根跳繩。

師：方法不同，得到的結果卻相同，這可是殊途同歸啊！既然結果相等，那這兩個算式之間有什么關系呢？

生（齊）：相等。

師：等號兩邊的式子有什么聯系呢？（板書：（4+6）×24=4×24+6×24）

生5：等號左邊先算4+6的和，再算10個24是多少；等號右邊是先算出4個24和6個24分別是多少，再求和，也是算10個24是多少。

2.舉例：引發思考

師：請寫出幾個像這樣的等式。

師：同學們舉的例子各不相同，全部都要寫在黑板上比較麻煩，有不相同的嗎？你能不能寫一個式子表示大家所舉的具體例子？

師：看看這些式子，雖然數字各不相同，但仔細琢磨，這些看似不相同的式子，是隨便寫出來的嗎？它們有什么相同之處，相同之處是什么呢？

生6：每個式子都有一個共同的因數。

師：觀察得很仔細，一下子就抓住了問題的關鍵。這些式子之所以可以寫成相等的形式，其真正原因就是有——相同的因數。

3.歸納：提出猜想

師：認真觀察這些等式的左邊和右邊，再從左往右看，這幾個等式有什么相同點？（出示小組學習的要求）

生7：左邊是兩個加數的和乘一個數，右邊是先分開乘再相加。

師：“分開乘”什么意思？把誰分開了？

師（在學生交流的基礎上出示：兩個數的和與一個數相乘，可以把這兩個數分別和這個數相乘，再相加）：這是數學中一條重要的規律，叫作“乘法分配律”。這個規律為什么叫作乘法分配律？你有什么高見？

三、多元表征，驗證猜想

師：這樣的規律是不是正確的呢？在我們以前的學習過程中有沒有遇到類似的式子呢？你能不能試著通過舉例、圖示或者計算來驗證這個規律？這樣的規律還可以怎樣來表示？想一想，寫一寫。

生1：舉例，通過結果來驗證。

生2：畫圖。

生3：計算。

師：我們是怎么算25×12的？（10+2）×25=10×25+2×25。其實，等式左邊是10與2的和乘25，也就是求10個25，右邊是10個25加上2個25，也是求10個25。

（板書：（10+2）個25，10個25，2個25。引導學生透過算式的外在形式關注算式的數學本質，幫助學生用乘法意義來解釋乘法分配律）

四、鞏固練習，應用猜想

習題1 “練一練”第1題：

①（42+35）×2 = 42×□+35×□；

②27×12+43×12 = （27+□）×□；

③15×26+15×14= □〇（□〇□）；

④72×（30+6）= □〇□〇□〇□ 。

師（針對第②題）：兩個乘法中相同的乘數是幾？是不是應該把相同的乘數放在括號外面？

師（小結）：雖然這些題目形式上不同，但實質上是一樣的。大家不能僅僅關注形式，更多的是要思考本質的意義。

習題2 “練一練”第2、3、4題（略）。

習題3 四年級的活動區域是一個長22米、寬10米的長方形，五年級的活動區域是一個長18米、寬10米的長方形。求兩個年級的活動面積一共是多少平方米。

習題4 練習十第6題：

（1）64×8+36×8，（64+36）×8；

（2）25×40+25×4，25×（40+4）。

觀察這兩組算式，想想每組中兩個算式的結果是否相同？為什么？如果讓你選擇一組進行計算，你會選擇哪個？為什么？

師（小結）：看來，學會了乘法分配律，我們還能對部分計算使用簡便算法，使一些復雜的計算變得簡單。

習題5 開學初，學校為了豐富大家的課間活動，購買了一批體育器材，看看是什么？（課件出示圖片和信息：空竹每個17元，飛盤每個8元，鐵環每個15元。）每種玩具都購買了60個，一共要花多少錢？

師：觀察等式（17+8+15）×60=17×60 + 8×60+15×60，你有什么想告訴大家嗎？

師（小結）：乘法分配律不僅可以是兩個加數的和乘第三個數，還可以推廣到3個加數的和，甚至可以是更多的加數！

師：剛剛我們就實際問題提出了很多的猜想（兩個數拓展到三個及以上的數的和；加法拓展到減法；乘法拓展到除法），大家課后也可以試試用今天研究的方法，由一個特例得出多個例子，先通過觀察和比較提出猜想，再去驗證和應用猜想。這是我們數學學習常用的一種方法。

五、總結提升，發展猜想

師：在今天這節課上你收獲了什么？從中你得到什么啟發？面對熟悉的知識、情境、問題，很多時候我們可以試著往深處想一想“這些知識的背后，是不是蘊藏了一些規律？是不是隱藏了一些看不見的奧秘？”……多思考，多動腦，我們的思維會變得與眾不同！

（責編 金 鈴）