淺議在數學教學中應用數形結合思想

李頻

摘要：初中數學教學應用數形結合教學思想能夠將抽象的知識和理論轉變為圖形，從而展現給學生，學生通過對圖形進行分析，將數學問題和圖形有效結合起來，有利于學生更好地掌握和理解數學知識。

關鍵詞：數形結合；應用

中學數學研究的兩類基本對象是數與形，而數形結合思想則是研究數學的一種重要思想。數形結合，簡言之，依據數學問題的題設與結論間的內在聯系，不僅對其數量關系進行分析，而且其幾何意義也需呈現，使二者有機地結合在一起，以尋求問題解決思路。在該過程中，將復雜、抽象的問題具體化和形象化，一方面能夠提高學生的思維能力和觀察能力；另一方面，也能激發學生對數學學習的興趣，有效提高課堂教學效果。

一、數形結合在初中教學中的地位和意義

（一）數形結合在初中教學中的地位

數形結合的研究在數學領域中具有重要的地位，其整合性強，解法靈活，可以考查學生的思維能力、實踐能力和創新能力，它經常將數軸、多邊形、圓等幾何知識與函數、方程、不等式等代數知識緊密聯系，在初中數學教學中滲透數形結合思想，可以幫助學生系統地掌握數學概念，有利于學生思維能力的發展。

（二）數形結合在初中教學中的意義

1.數形結合有利于學生在學習過程中發展思維的敏捷性和靈活性

數形結合的思想方法可以將繁雜的數量關系與直觀形象的圖形互相轉化和補充。學生通過題目給出的條件，經過分析來判斷是否可以將題目中令人難懂、繁瑣的代數轉化為直觀的圖形來解決，或者是否可以將題目中簡單的圖形通過代數找到圖形蘊含的數量關系。經過學生動腦想、大膽猜來開闊解題思路，從而增強解題的敏捷性和靈活性，探索出一條簡潔的解題途徑。不僅有利于學生對知識的記憶更加深刻，而且還有利于學生用圖形進行思維轉換活動。

2.數形結合可以使單調無趣的數學知識變得直觀明了

由于初中生的空間想象和對幾何問題的把握不夠精準，因此對他們而言，運用數形結合思想解相關的題目，不但直觀，可以很快找到解題方法，而且能避免繁雜的運算和推理，簡化解題過程，提高解題能力。同時通過提高解題能力，增強學生的自信心，從根本上培養學生的學習興趣，從被動學習轉變為主動求知，讓枯燥的數學學習重現鮮活的生命力。

二、數形結合思想的具體運用

1.以數化形

數學圖形最大的優勢就是形象直觀，能夠很好地表現抽象性的思維形象。從教學活動上來看，以數化形的優勢在于：其一能夠將抽象轉變為直觀的幾何形象，省略掉冗長且繁瑣的推理與計算過程；其二是能夠幫助學生依托于直觀的數學圖形來理解復雜代數關系，鞏固教學的效果。例如，在講解“平方差公式”知識點時，可應用以數化形的方法展開教學。具體思路是：首先給出學生如下多項式：（2x+1）（2x-1）；（m+2）（m-2）。讓學生應用多項式相乘的原則進行計算，并比較計算結果，探索規模。然后過渡到對多項式（a+b）（a-b）的計算上，自然而然地寫出平方差公式的基本內容。在此基礎之上，教師可應用繪制幾何圖形并結合平方差公式進行講解，讓學生更好地認識到平方差公式的幾何意義，加深理解。

2.以形變數

應用數形結合思想中的以形變數概念，能夠引導學生深入發掘圖形中的隱含條件，最終解決圖形問題。例如，在講解“對角平分線的性質”知識點時，教材中采取的方法是：首先介紹平分角的儀器，然后展開對平分角儀器工作原理的探究，最終引導學生具備獨立應用尺規作出已知平分角的能力。而通過引入以形變數的概念，在本環節教學活動中改為引導學生動手實踐。具體方法是：讓學生從草稿紙上裁下一部分并折疊形成角AOB，再折疊出一個直角三角形。然后教師可要求學生自行觀察以上操作中所產生的折痕長度及其數量，通過動手實踐的方式推導得出角平分線的性質與定理。

3.數形互變

有一些數學問題不僅僅是單純的“以數化形”或“以形變數”，而是需要結合實際情況轉換其中的形與數。例如，在講解“平面直角坐標系及其函數關系”時，平面直角坐標系除了可以將地理位置表示出來之外，還能夠將一座橋梁橫架在數與形之間，一一對應平面上的點和有序實數對（x，y），從而有效地結合圖像和函數。在引入平面直角坐標系之后，就可以對代數的方法進行借用研究幾何性質，并且選擇幾何的方法對代數關系進行表述。

4.“空間與圖形”中的數形結合

幾何是初中數學教學的重點，相比代數的抽象化，幾何因直觀化的圖形圖像等，贏得了學生的喜歡。但由于初中學生的空間思維能力開拓不足，使得他們在學習幾何圖形的空間變化時，容易遇到瓶頸，難以真正理解幾何圖形的變換思路。教師積極利用數形結合的思想，通過空間與圖形的充分結合，來幫助學生更加直觀、更加深刻地理解幾何知識，培養學生的空間思維能力。教師利用數形結合的思想，應該善于從生活中挖掘素材，積極利用生活中的事物，引導學生自己動手試驗，探究幾何圖形的空間轉換能力。如在平面圖形的幾何變換時，教師可以引導學生通過自己動手的方式來親自演練平面圖形的空間變換。最典型的例子就是折紙箱或拆剪盒子等，教師可以在課前要求學生準備相應的材料，授課前引導學生一起動手，共同探討拆剪盒子的空間變換。如圖1所示，兩個大小不一、連接在一起的正方形，假設小的正方形是大的正方形邊長的一半，如何在只剪兩刀的情況下，拼出一個全新的大的正方形呢？在實踐教學中，教師通過實驗的方法引導學生積極動手來自我發掘拆剪方式，但由于學生思維能力有限，在拆剪的過程中，很容易出現混亂，不僅無法精準地找到拆剪的方式，還容易因拆剪方式不科學，造成課時的延誤或者思路的混亂。但如果仔細分析，我們可以發現，題目中說在剪兩刀的情況下，構成新的正方形。在轉換的過程中，邊長發生了改變，但面積是固定的。這樣通過計算大小正方形的面積和，很容易得出新的正方形的面積。假設大正方形的邊長為4，小正方形的邊長為2，那么兩個正方形的面積和為20。學生只需要計算出面積為20的正方形的邊長，并找出邊長在哪即可。可見，在“數形結合”中，不僅可以將代數轉變為圖像，從抽象過度到具象，同時還可以分析判斷幾何圖形中的“不變量”，從具象過度到抽象。

參考文獻：

[1]梁永娥.數形結合思想在函數問題中的應用[J].中學教學參考，2016（23）：36.

[2]顧恩，鄒燕.數形結合思想在化學解題中的應用[J].高中數理化，2016（16）：49.