例談用幾何畫板探究動圓圓心軌跡問題

管燕妮

摘 要：利用幾何畫板，可以給學(xué)生一個“操作數(shù)學(xué)”的環(huán)境，把抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)變得形象、直觀動態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題，達(dá)到“舉一反三”的效果，開拓學(xué)生視野。本文由一道數(shù)學(xué)題呈現(xiàn)出了兩圓的位置關(guān)系決定了軌跡的類型。體現(xiàn)了幾何畫板對于研究性學(xué)習(xí)的強(qiáng)大效果。

關(guān)鍵詞：幾何畫板；軌跡；研究

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，因而數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重揭示數(shù)學(xué)思維活動的全過程，拓寬解題思路，提高應(yīng)變能力。數(shù)學(xué)教學(xué)的最根本目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生能夠獨(dú)立思考問題、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性的邏輯思維方式。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個狹窄的課本知識領(lǐng)域里，更重要的讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會運(yùn)用課本的知識達(dá)到“舉一反三”的效果。

而利用幾何畫板，可以給學(xué)生一個“操作數(shù)學(xué)”的環(huán)境，把抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)變得形象、直觀動態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題，能夠化抽象為具體，化具體為形象，因而，使教學(xué)更加直觀、生動，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性。數(shù)形結(jié)合思想是一個非常重要的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”幾何畫板為“數(shù)形結(jié)合”創(chuàng)造了一條便捷的通道，它不僅對幾何模型的繪制提供信息，同時，可以解決學(xué)生難以繪制的圖形，而且提供了圖形“變換”的動感。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容跨度大、抽象性強(qiáng)，只有促進(jìn)高中學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深刻理解，才能達(dá)到掌握和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的目的。因此，只有在變化環(huán)境下反復(fù)理解，學(xué)生的認(rèn)識才能不斷深入。

例：一動圓與圓[（x+5）2+y2=4]內(nèi)切，同時與圓[（x-5）2+y2=36]外切，求動圓圓心的軌跡方程。

根據(jù)題意可求得其軌跡方程為[x26+y29=1]，是雙曲線。此時，我們會考慮，是不是只要是和兩個定圓一個內(nèi)切，一個外切，動圓圓心的軌跡方程總是雙曲線呢？如果是用傳統(tǒng)教學(xué)，這研究起來復(fù)雜，計算量大，且不生動形象。而如果用了幾何畫板來進(jìn)行研究，就節(jié)約了不少時間，且容易讓學(xué)生總結(jié)出結(jié)論。

試想，此動圓圓心的軌跡是否會和兩定圓的位置關(guān)系有關(guān)。發(fā)現(xiàn)，題中所給的兩個動圓是相離的關(guān)系，如果是相交，相切，內(nèi)含的關(guān)系，會是什么樣的結(jié)果。這時我們可利用幾何畫板作兩個可以變換位置關(guān)系的圓來進(jìn)行研究。具體做法如下：

（1）任意取兩定點(diǎn)[F1]、[F2]為圓心，使用左邊工具欄中的畫圓工具分別作出兩個圓，使得兩個圓的位置關(guān)系為相離；

（2）在其中一圓（如圓[F1]）上任取一點(diǎn)[A]，以[A]為圓心，另一圓半徑（如r2）為半徑作圓，構(gòu)造直線[AF1]與該圓的交點(diǎn)為[M]，[N]（假設(shè)[M]是距離點(diǎn)[A]較遠(yuǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)[N]是距離點(diǎn)[A]較近的點(diǎn)）；

（3）構(gòu)造線段[MF2]，并作出線段[MF2]的垂直平分線與直線[AF1]的交點(diǎn)為[P]，以[P]為圓心，[PA]為半徑作圓，并顯示為虛線，則圓[P]分別與圓[F1]內(nèi)切，與圓[F2]外切。

不難證明，因?yàn)閇PF2=PM]；

所以[PF2-PF1=PM-PF1=r1+r2]為常數(shù)，依次選中點(diǎn)[P]、[A]，點(diǎn)擊菜單中構(gòu)造-軌跡，便可構(gòu)造出圓心P的軌跡，而該圓心軌跡就是以[F1]、[F2]為焦點(diǎn)、[r1+r2]為實(shí)軸長的雙曲線（如圖）。

（4）美化界面，保留圓[F1]、圓[F2]的控制點(diǎn)，其余不必要的都可以隱藏掉。

（5）拖動圓[F1]或圓[F2]的控制點(diǎn)，便可以得到當(dāng)兩圓相切、相交、內(nèi)含時圓心[P]的軌跡。部分效果圖如下：

從不斷改變兩圓的位置關(guān)系，可得出不同的軌跡，讓學(xué)生開拓了視野，也讓學(xué)生了解到此題中的軌跡并不是永遠(yuǎn)為雙曲線，會隨著兩圓的位置關(guān)系的改變而改變，使學(xué)生得到了舉一反三的效果。

運(yùn)用幾何畫板有效地拓展了學(xué)生學(xué)習(xí)的空間，培養(yǎng)了學(xué)生研究的興趣、解決問題的欲望及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動性有明顯的增強(qiáng)。同時也能讓學(xué)生真正的動手操作、觀察、研究、思考。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)是一個被動吸收知識、記憶、反復(fù)練習(xí)強(qiáng)化的過程。一個有意義的學(xué)習(xí)過程，是學(xué)生以一種積極的心態(tài)，調(diào)動原有的知識和經(jīng)驗(yàn)，嘗試解決問題，同化新知識并建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。所有的新知識只有通過學(xué)生再創(chuàng)造的活動，使其納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，才可能成為有效的知識。只有這樣，學(xué)生獲得的才是真正的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而不僅僅是一些抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

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