淺析數學競賽中的抽象函數方程問題

任小平

[摘 要] 對于抽象函數及其函數方程問題的解答，其關鍵在于捕捉題目的信息特征，發現解決問題的突破口，尋求合理、簡潔的解題方法，達到化繁為簡、化難為易的目的.

[關鍵詞] 抽象函數；結構特征；解題方法

抽象函數及其函數方程問題越來越多地受到命題者的青睞，不僅要求對函數的本質有著深刻的理解，而且解題方法靈活多變，求解技巧性強，同時涉及的范圍較廣，對學生掌握所學知識之間的內在聯系要求較高. 對學生的數學素養提出了較高要求，因此是數學競賽的熱點和難點.本文歸納了一些求解抽象函數的方法和技巧，以達到拋磚引玉的目的.

[?] 巧取特殊值，求解函數解析式

對于多個變量的抽象函數方程，可將其中的某個變量視為主元，進行恰當的賦值，形成“關系鏈”，從而簡化運算，達到特殊引路，探求一般規律的目的和效果.

例1：求所有函數f：R→R，使得對所有的x，y∈R，有

評注：巧取特殊值，簡化運算，形成“關系鏈”，起到了“特殊探路把門敲，化繁為簡層次高”的效果，從而優化解題技巧.

[?] 巧構結構式，求解函數解析式

對于一些多變量的抽象函數方程，當變量的取值范圍對等時，往往可以通過變換變量的位置，將隱含的結構關系式外顯化，然后通過外顯的結構特征和性質，使問題得以轉化，達到解決問題的目的.

例2：設函數f：R→R，滿足f（0）=1，且對任意的x，y∈R，都有

f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2，則f（x）=________.

（2004年全國高中數學聯合競賽試題）

分析與解答：題此題中的函數方程含兩個變量x，y，而兩者關系對等，將兩者交換位置，則可得到另一個方程，在聯立兩個方程得到一個新的關系式；再結合條件即可求得解析式.

即令x=y，y=x，有f（yx+1）=f（y）f（x）- f（x）-y+2（x，y∈R），

結合條件中的f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2（x，y∈R），

解得f（x）-x=f（y）-y（x，y∈R）.

由于對任意的x，y都成立，

則f（x）-x=C（常數）.

又由于f（0）=1，

于是將x=0帶入上式，

解得C=1，從而f（x）=x+1.

評注：在解一些抽象函數方程、方程組時，通過變換、轉化，將內在的信息特征外顯化，發現可用于構造的因素，引入新的形式，借助新形式的性質，使復雜的運算和推證變得容易處理，使問題變得清晰可解.

[?] 巧用換元法，求解函數解析式

對于一些結構復雜的函數方程，利用變量代換的方法，將抽象的函數方程式轉化為新變量形式，以整體形式代入，轉化為各字母的方程組形式，從而解出具體的函數解析式.