負游隙四點接觸球軸承的摩擦力矩計算

韓濤，孫立才，岳紀東，李澤強

（1.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術重點實驗室，河南 洛陽 471039；3.滾動軸承產業技術創新戰略聯盟，河南 洛陽 471039）

負游隙四點接觸球軸承與成對預緊角接觸球軸承在性能上具有相似性，能同時承受軸向載荷、徑向載荷和傾覆力矩，可消除軸承內部游隙，從而減小承受載荷時的變形，提高剛度，并降低軸承的體積和重量，故將該類軸承應用到航天執行機構中，能夠使部件更加緊湊、輕便。在航天高真空環境條件下，該類軸承采用固體潤滑方式，軸承摩擦力矩較大，故應精確控制軸承的摩擦力矩。

1 負游隙理論計算方法

軸承徑向游隙儀只能測量正游隙，四點接觸球軸承的負游隙不能通過儀器直接測得，只能先通過裝配小尺寸球使軸承處于正游隙狀態進行測量，然后通過調整球徑，根據理論模型計算出所需負游隙。因此合套后軸承的摩擦力矩和剛度等指標在很大程度上受限于模型的準確度。

假定軸承內外圈的墊片角均為β，采用小尺寸試配球時通過測量得到徑向游隙為Gr，而最終裝配用球與試配用球的直徑差為ΔDw，則裝配這2種球引起軸承徑向游隙的變化如圖1所示，其變化量為

圖1 球徑變化對四點接觸球軸承游隙的影響Fig.1 Effect of ball diameter change on the clearance of four point contact ball bearing

則軸承理論徑向游隙為

1.1 接觸載荷與變形

以QJ1830薄壁四點接觸球軸承為例分析，其結構參數見表1。由于套圈為薄壁，在載荷作用下易變形，會影響內部游隙和接觸載荷，故必須考慮軸承內外圈尺寸變化對接觸載荷的影響。

表1 結構參數Tab.1 Structure parameter

軸承內外圈均為薄壁結構，在負游隙狀態下球與溝道的4個接觸點處存在接觸載荷與變形，外圈外徑增大，內圈內徑減小。根據四點接觸球軸承內部幾何關系，球與溝道接觸點處的變形、徑向游隙、外圈外徑增大量、內圈內徑減小量存在如下關系式

式中：ΔD為外圈外徑增加量；Δd為內圈內徑減小量；δi，δe為球與內、外溝道之間的接觸變形。

1.1.1 套圈尺寸變化量

負游隙狀態下，球與溝道處于預緊狀態，內外溝道在圓周方向受到球作用的均布載荷，由于試驗軸承為薄壁結構，易變形，根據彎曲薄壁圓環經典能量法，可求得內外圈的整體尺寸變化量。負游隙狀態時，外圈外徑增大量ΔD為

式中：Qre為球與外溝道法向接觸載荷的徑向分量；Qe為球與外溝道法向接觸載荷；Re為外溝曲率半徑；E為彈性模量；Ie為外圈慣性矩；Z為球數。

內圈內徑減小量Δd為

式中：Qri為球與內溝道法向接觸載荷的徑向分量；Ri為內溝曲率半徑；Ii為內圈慣性矩。

1.1.2 球與溝道的法向接觸載荷

由Hertz接觸理論可知，球與套圈溝道間的法向接觸載荷與變形關系為［2］

式中：ki，ke分別為內、外圈接觸變形系數。

負游隙四點接觸球軸承空載時，球與內外圈間的接觸角（αi，αe）分別等于其相應的墊片角（βi，βe），即內外圈接觸角相同，而套圈自重造成的球與溝道間的法向載荷與負游隙預載荷相比可忽略不計。假設內外溝道左、右2個接觸點處的法向接觸力和摩擦力相等，球自轉軸線和軸承軸線平行。每個球在溝道4個接觸點處法向接觸力的作用下均處于平衡狀態，則

由（4）～（7）式可求出 Δd，ΔD，δi，δe，Qi，Qe。

1.2 空載狀態下摩擦力矩的計算

軸承為固體潤滑，轉速低，內部摩擦主要為球與內外溝道間的滾動和滑動摩擦。由于工作轉速低，球與內外溝道間由于預緊力的作用形成四點接觸，球與內外溝道接觸點處均存在較大的自旋滑動（圖2，ωb為接觸區長半軸的點的角速度；i，e分別代表內、外圈）。球相對內外溝道的轉動速度可分解為繞接觸點切線方向（MM軸）的角速度ωr＝ωcosβ和繞接觸點法線方向（NN軸）的角速度ωs＝ωsinβ（ω為球相對內外溝道的角速度），可以根據角速度矢量合成法計算［2］。ωr為球相對內外溝道的滾動分量，主要產生差動滑動導致的摩擦力矩，在總摩擦力矩中占比較低；ωs為球相對內外溝道的自旋分量，其所引起的滑動而產生的摩擦力矩是軸承旋轉時摩擦力矩最主要的來源。

圖2 球與溝道接觸處的滾動和自旋滑動Fig.2 Rolling and spin sliding at contact point of ball and groove

假設球與內外溝道接觸區中各點的滑動摩擦因數均為常數μ，則整體的自旋滑動摩擦力矩為

式中：Q為球與溝道接觸點處法向力；E為與接觸區形狀有關的第2類完全橢圓積分；φ為積分變量；K為橢圓偏心率；a，b分別為接觸橢圓的長、短半軸。

根據能量守恒定律，并略去軸承內部影響較小的摩擦力，軸承總摩擦損耗為球與溝道接觸點處自旋滑動引起的摩擦功耗之和，即

式中：ωsel，ωser，ωsil，ωsir分別為球與內外溝道的角速度自旋分量；Msel，Mser，Msil，Msir分別為球與內外溝道的自旋摩擦力矩，計算方法見文獻［2］；M為軸承的宏觀摩擦力矩；ni為內圈轉速。

聯立（3）～（9）式可求得軸承的宏觀摩擦力矩M。

2 試驗驗證

試驗軸承潤滑膜為 MoS2，工藝球（規值 -6 μm）對應的Gr為12μm，選配鋼球規值+5μm，理論計算的Gr為-7μm，理論計算的摩擦力矩為0.154 N·m，保持架材料為PTFE05。對裝配前后的內、外徑進行測量，對鍍MoS2膜的軸承在200 N軸向載荷、100 r／min轉速下正、反面分別跑合30 min，并監測跑合過程中的動態摩擦力矩，然后測試啟動摩擦力矩。

MoS2磁共離子濺射固體潤滑薄膜具有低摩擦因數、耐磨損以及較高的承載能力，主要原因在于多組元離子之間的協同效能能夠致密化潤滑膜的表面和斷面組織結構。而濺射薄膜通過沉積得到，在薄膜與基體材料交界處形成的潤滑薄膜最為致密，當達到一定厚度后，膜的生長方式就會發生變化，最后在膜的頂層生成的是柱狀或針狀疏松組織結構，既影響其潤滑性能，又容易吸潮、氧化和剝落。

對溝道濺射成膜的軸承進行預跑合則可改善該工況，并能提高潤滑膜的潤滑性能。跑合是一個磨合期，使軸承在裝機使用前預先達到良好的運行狀態，從而提高裝機使用中的可靠性。通過跑合，球與溝道接觸帶潤滑薄膜的頂層疏松結構將隨球的擠壓滾動而剝落，而底層薄膜在壓力作用下會更加致密。

軸承跑合后，通過調整球徑規值獲得-9～-3 μm的負游隙，然后進行動態摩擦力矩的測試，結果見表2。由表2可知，實測值比理論值大，因為理論計算只考慮了最主要的自旋滑動產生的摩擦力矩，負游隙值越大，其在全部摩擦力矩中所占比重也越大，所以理論計算值隨著負游隙值的增加越來越接近于實測值。考慮到摩擦力矩的影響因素較多，固體潤滑軸承摩擦力矩測試值一般有30%左右的波動，故模型的計算誤差在允許范圍之內。

表2 不同游隙下的摩擦力矩值Tab.2 Friction torque values under different clearance

3 結論

1）根據負游隙四點角接觸球軸承的內部幾何關系求得負游隙的計算方法。

2）摩擦力矩的理論計算模型可以根據能量守恒定律計算。

3）當游隙小于-6μm時，摩擦力矩的理論計算值相對實測值的誤差小于30%。