“數(shù)”與“形”在概率論中的完美結(jié)合

劉喜富++郝媛媛

摘要：數(shù)形結(jié)合是一種重要的思想方法，以其解題的直觀、形象而著稱。針對概率論課堂教學(xué)過程中的幾何概型問題、全概率公式問題，運用數(shù)形結(jié)合的思想將復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，達(dá)到完美的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；概率論；幾何概型；全概率公式

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。在數(shù)學(xué)問題的求解過程中，運用“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，往往可以將復(fù)雜問題簡單化，而這種聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。早在17世紀(jì)，著名數(shù)學(xué)家帕斯卡和費馬以“賭金分配問題”開始通信討論，開創(chuàng)了概率論研究的先河，后來荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯也參加了這場討論，并寫出關(guān)于概率論的第一篇正式論文《賭博中的推理》。帕斯卡、費馬、惠更斯一起被譽為概率論的創(chuàng)始人。在概率問題的求解過程中，如果適當(dāng)運用數(shù)形結(jié)合的思想，會使問題變得簡單。

一、數(shù)形結(jié)合在幾何概型中的應(yīng)用

如果某個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的度量（長度、面積、體積等）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型。幾何概型的問題通常都可以通過“形”的方式解決。

例1某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺整點報時，求他等待的時間短于10分鐘的概率。

分析：因為電臺每小時報時一次，這個人打開收音機的時間恰好是在兩次報時之間，例如（12：00～13：00），要使等待時間短于10分鐘，只有他打開收音機的時間恰好在12：50至13：00之間才有可能。

解：假設(shè)事件A={等待時間短于10分鐘}，由題意可得P（A）=10/60=1/6。

二、數(shù)形結(jié)合在全概率公式中的應(yīng)用

全概率公式是概率論中最基本的公式之一，它通過將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為若干個互不相容的簡單事件的和事件，再求出簡單事件的概率，最后運用加法公式得到所要求的復(fù)雜事件的概率。

例2自行車的鑰匙丟了，落在教室的可能性為50%，這種情況可以找到的概率是0.8；落在圖書館的概率為30%，這種情況可以找到的概率為0.5；落在路上的可能性為20%，這種情況可以找到的概率為0.1，求找回自行車鑰匙的概率。

分析：根據(jù)題意，鑰匙可能丟失的地方有3個：教室、圖書館、路上，對應(yīng)在這些地方能找回的概率依次為0.8、0.5、0.1，符合全概率模型。

解：假設(shè)事件A={鑰匙被找回來}，B1={鑰匙丟在教室}，B2={鑰匙丟在圖書館}，B3={鑰匙丟在路上}，運用全概率公式可知，即可以找回自行車鑰匙的概率為P（A）=P（B1）×0.8+P（B2）×0.5+P（B3）×0.1=0.5×0.8+0.3×0.5+0.2×0.1=0.57。

三、數(shù)形結(jié)合在等可能概型中的應(yīng)用

試驗的樣本空間只包含有限個元素，并且試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同，具有以上兩個特點的試驗稱為等可能概型或古典概型。

例3假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都等于1/365，兩名學(xué)生的生日（不計年份）相同的概率是多少？

分析：在直角坐標(biāo)系中，把兩人生日按1，2…365標(biāo)于坐標(biāo)軸x、y上，“生日相同”理解為在直線y=x上的點。

解：記正整數(shù)x、y為兩人的生日，在1到365中取值，由兩人生日所構(gòu)成的點的數(shù)目為365×365，兩人生日相同所代表的點，即落在直線y=x上的點數(shù)為365，因此，兩名學(xué)生的生日相同的概率為P=365/（365×365）=1/365。

通過以上例題可以看出，借助數(shù)形結(jié)合的方法可以將概率中的幾何概型問題、全概率公式問題圖形化、直觀化。概率論中關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的運用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，貝葉斯公式問題、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布問題、事件之間的關(guān)系問題等，都可以運用數(shù)形結(jié)合的思想將復(fù)雜問題簡單化。實踐證明，運用數(shù)形結(jié)合的方法為學(xué)生講解，能使學(xué)生更容易理解復(fù)雜問題的求解過程，有助于提高教學(xué)質(zhì)量，獲得更好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]李賢平.概率論基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]郭鳳艷.淺談數(shù)形結(jié)合思想及在概率中的應(yīng)用[J].赤子（上中旬），2015（11）：125.

[4]楊玲玲，王超.用數(shù)形結(jié)合法求解連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布問題[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2014（17）：294-298.