要答案自己做

文︳陳萬龍

要答案自己做

文︳陳萬龍

課堂不僅是時時發生錯誤或出現意想不到的事情的地方，更是師生互相學習、共同發展的天地。意外情況的發生，為師生展示自我提供了契機。然而，部分教師由于備課時過分依賴參考資料，造成了教學上的偏頗或失誤，導致教學專業水平下降。其實，數學教師也要“下水作文”：解答問題、探索問題，做到“拳不離手、曲不離口”，才能保持進取精神。教師做題即研究，只有先做題，才可以避免習題的機械重復，使練習做到少而精。教師通過做題，發現題目本身及其答案的疏漏，并促進學生更加深刻地理解知識、掌握技能，領悟數學思想方法。要答案，自己認真做——這是特級教師沈唯剛老師30多年教書生涯的經驗總結。對此筆者深有體會，并與大家分享親身經歷的幾個小插曲。

一、“老師，這樣的做法有問題”

案例1過x軸上一點P向圓C：x2+（y-2）2=1作兩切線，切點分別為A，B，則△ABC面積的最小值是（）。

這是高三復習課上的一道題。當時有一位學生給出了與參考答案幾乎一樣的解答過程。

設AB與PC的交點為E，則S△PAB=B·PE=又因為點P在x軸上，所以PC取最小值時，就是C點到x軸距離的最小值，即PC=CO＝2時，△PAB的面積最小，最小值為。

學生大都認為解答過程沒有問題。正當我為此同學的解答感到高興時，一位同學站起來說道：“老師，這樣的做法有問題。”我心里一驚：“有問題！”好在自己還算有點經驗：“請把你的想法跟大家說一說。”這位同學不慌不忙地說：“只有當AE= PE時，面積才能取到最小值。但在這里AE=PE是不可能的，并且這樣也只能是求出最大值，而事實上，當PC=CO時只能求得最小值。因此，可以肯定這樣的做法是有問題的。”真是一語點醒夢中人：“既然取不到，那么怎樣求解此題呢？同學們可互相交流、探討。”幾分鐘后，有同學上臺展示了。隨后，我和學生對上述成果進行了認真的分析和細致的研究，一致認為是正確無誤的：均是通過設角變量，化為此角變量的函數關系求解，這是處理這類問題的一般方法。

教學反思：教師只有事先認真做題了，才知道已有答案解法的錯誤。若不是把“球”拋給學生，這個問題的處理必定會失敗，甚至有可能使課堂出現冷場局面。教師只有通過事先做題，才能避免這類事情的發生，使自己在課堂上處變不驚。即使是學生在課堂上的展示非常正確，教師也可以有意示錯，激起學生探究的熱情，更好地促進學生認知的發展。

二、“老師，這道題本身就有問題”

案例2已知橢圓M的兩個焦點分別為F（1-1，0），F（21，0），P是橢圓上的一點，|PF1·||PF2|=，且滿足∠F1PF2=，則橢圓M的方程是_______。

一位同學上臺展示了他的解法：設|PF1|=m，|PF2|= n。由已知得mn=，又由∠F1PF2=，得m2+n2-2mncos=4。從而有（m+n）2=m2+n2+2mn=20，即（2a）2=20，得a2=5。所以b2=a2-c2=4，故橢圓M的方程為=1。

當大部分學生認為此種解法干凈利落時，一位數學成績中等的學生怯生生地說：“老師，這道題本身就有問題。”教室里頓時雅雀無聲。該生上臺展示了他的解題過程：

設點P（x，y），則有：

我和同學們仔細檢查了這兩種解法，可以肯定兩種解法的思路都正確，解題的恒等變形與推理過程完全正確。這是為什么？我堅信這是編題者忽視了一個重要性質，所能取得的最大值問題。于是我改變教學計劃，讓學生充分討論、交流，最后達成共識，得到結論：若橢圓=1（a＞b＞0）上的點P對橢圓兩焦點F1，F2的張角θ（0＜θ＜π)余弦值的最小值為-1。此時角θ取得最大值。

教學反思：兩位同學的解法跟我的預設沒有差別，竟然得出了相互矛盾的結論，這是我始料未及的。我趁機將問題的研究權交給了學生。學生通過充分思考，挖掘思維潛力，有效地促進思維的深度參與。這樣看來，教師只有通過先做題，才能了解問題的難易程度，然后抓住錯題，變廢為寶，讓解題指導更具針對性。

三、“老師，我的解法比你的更簡單”

這是一次月考中的一道題。從考試的結果看，幾乎所有的學生都是按通性、通法求解的，但不是因計算復雜出錯，就是因運算量大半途而廢，無功而返。為了鼓勵學生的信心，我和學生一道進行了詳細的解答。

解：由題意知A（-2，0），直線l：y=k（x+2）。

運算確實極其復雜，我要求學生對此解答認真反思，看看有沒有值得借鑒的。此時，一位同學說：“老師，我的解法比你的簡單多了。”我非常高興，讓他將自己的解法和其余同學一起分享。

解：設B（2x0，2y0），則=1，且線段AB的中點N（x0-1，y0）。

故當x0=-時，取得最大值，為。

學生們對此解法感到非常驚訝也很佩服，我的心情也久久不能平靜。此同學利用線段AB的中點坐標將斜率表示出來，而這恰恰抓住了此題的本質特征，真是思之越深，解之越簡。

教學反思：學生對本題的簡明解法，確實讓人賞心悅目，拍案叫絕。學生學習數學的發散思維，在這里也得到了難能可貴的展示。反復回味上述簡單解法，他那快捷明朗、機智靈活的思維，恐怕是我們教師都難以做到的。這無疑告訴我們，教師要放下架子，真正做到教學上以學生為主體，以教師為主導，讓學生在自主探索、交流合作的過程中獲得對數學較為全面的體驗，體驗做數學的樂趣。教師送給學生一個信任，學生會還你一個奇跡。

四、“老師，此題就只有這樣一種解法？”

案例4求函數y=sinx+cosx+sinx·cosx的最大值。

在高三的一次復習課上，我再次選用了這樣一個問題。其實，在學習必修課本時就出現過類似的問題，不過，還是有同學不知怎樣處理。我給出了如下的解法：

當很多同學都為自己想不到問題的解答而顯得有點沮喪時，一個同學站起來說：“老師，此題就只有這樣一種解法嗎？但這與您平時常說應將此類問題轉化為只含有一個角的某個三角函數的關系式不相符。”這位同學提出了一個很值得思考的問題。“不瞞大家說，我確實沒有這樣想過。今天就借此機會，我們一起來研究研究。”經老師這樣一說，同學們熱情高漲，躍躍欲試。不一會，同學A進行了如下解答：y=sin（x+）+sin2x，當x=時，sin（x+）與sin2x均能取得最大值1，故有y的最大值為

這樣解答真是令人眼前一亮，解答過程不僅簡潔、新穎，還突破了慣用的換元法。“本題真的就不能轉化為一個角的某個三角函數。”這時同學B上臺板演了他的解答：

很明顯，這也是一個非常不錯的解答。同學A的解法雖然簡單，但若求其最小值就無能為力了。而同學B的解法很好地解決了這一問題，可以說同學B的解法更具一般性。

教學反思：在教師都沒有想到的情況下，學生通過自身的努力得到了本題的不同解法，可謂是層層遞進，突破難點，課堂達到高潮。教學中對問題的解答，教師必須讓學生真正參與，及時根據學生的信息反饋對解題過程作出調控。特別是當學生的思路與教師的設想有差距，但對深入地理解問題又具有一定價值時，教師要因勢利導，教會學生尋求思路的方法，引導學生分析方法的優劣。只有這樣，才能使不同層次學生的解題能力得以提高。

結束語：我們知道教師做題并不比學生高明，有時學生能發現你還未發現的錯誤與疏漏，學生的解答可能比你的更簡潔。教師認真地做題是講題的必要條件。只有認真研究問題，研究解法、變式，研究學生解決問題時可能出現的難點或疑點，才能在課堂上很好地開發利用動態生成資源，才能在講解時充分暴露你解題的思維過程，從而使學生在潛移默化中學會分析問題、解決問題的思維方法，真正做到從學會到會學，從會學到會創。

（作者單位：華容縣第二中學）