淺析數學概念學習中的錯誤

余航

【摘要】本文結合心理學與教育學，針對學生在數學概念學習中的一些錯誤理解，從數學概念意象的形成、數學概念定義、數學概念聯系、學生的負遷移四個方面分析產生錯誤的原因.

【關鍵詞】數學概念；概念學習；概念意象；概念聯系；負遷移

【基金項目】廣西教育科學“十二五”規劃2015年度廣西基礎教育教育教學法研究基地專項課題《初中數學優質課堂教學策略研究與實踐》，編號：2015JD409.

在數學概念的學習中，由于概念意象的模糊性、分散性和數學概念定義的不一致以及學生對概念理解不透徹、掌握不牢，導致學生經常出現一些錯誤.筆者從學生的心理、生理特征以及已有的認知結構出發，來分析在表征數學概念時，易受日常概念、思維習慣及教師的教法和觀念以及學生負遷移的影響而發生的錯誤.

一、數學概念意象形成中的錯誤

在數學概念的形成中，由于與數學概念意象的形成密切聯系，學生利用概念意象來記憶、表征和運用數學概念而導致錯誤概念的產生，這些錯誤主要集中在用日常生活概念、概念原型、“形象描述”代替數學概念.

（一）用日常概念代替數學概念

日常概念是指產生于日常生活經驗的概念.科學概念則是指在學校教學中形成與獲得的真實概念.當日常概念與科學概念相一致時將有助于科學概念形成，反之亦然.學生學習科學概念幾乎從日常生活概念中抽象發展而成，進而形成數學概念.但由于日常概念具有易變性、多義性、不精準性等特點，使其極易與科學概念的本質屬性發生矛盾，不利于科學概念的形成、掌握與運用，從而導致數學概念錯誤的產生.例如，日常生活中，我們觀察到和接觸的“角”是尖的，所以，學生學習“角”的概念時用了日常概念來代替數學概念，認為平角和周角不是角，此時與科學概念不一致，從而導致數學概念錯誤的發生.

（二）用概念原型代替數學概念

人們學習新知識時，喜歡從模仿開始入手，模仿概念原型來學習數學概念.然而在模仿概念原型學習的過程中，學生有時自然而然形成概念原型標準化的框架來學習數學概念，導致錯誤的數學概念產生.

在數學概念的學習中，學生往往先試著回憶獲得概念的情境，然后，才聯想到其定義的形式，此時概念的典型實例在學生的腦海里喚起學生所建立的概念意象，然而學生自己所建立的概念意象有時并不像科學概念那么明確，對概念意象具有模糊性，從而也出現錯誤的數學概念.同時學生借助典型實例來觀察、分析獲得新的數學概念，給予概念標準化，把無關的元素加入數學概念，或把數學概念相關的元素忽視了，直接用原型概念來代替數學概念判斷知識，不僅用了數學概念的相關元素，也用了無關元素來判斷數學某些知識，甚至有時只用了無關元素來判別.

（三）用形象描述代替數學概念

形象描述，就是把抽象的材料用形象化的語言來闡述，在數學概念意象表征數學概念的學習中，許多時候，學生通過自己的語言來描述數學概念.但在形象描述過程中，學生對于描述的語言、符號使用不準確，包括概念意象的模糊性和分散性而造成數學概念的錯誤.如，學生對完全平方公式的概念表征中，忽略公式中字母代表的具體意義，認為公式中字母僅代表數，卻忽略了公式中的字母不僅可以代表數，也可以代表單項式，甚至多項式.

二、數學概念定義中形成的錯誤

在定義數學概念時，由于學生不能準確地把握數學概念的內涵、外延以及概括與抽象能力不強、概念定義與概念意象相脫離也會導致數學概念錯誤的產生.

（一）內涵和外延把握不正確導致數學概念錯誤

從邏輯上說，概念的外延就是適合這個概念的一切對象的范圍，而概念的內涵就是這個概念所反映的對象的本質屬性的總和，概念的內涵和外延是相互依存、相互制約的，倘若內涵擴大，其外延就會縮??；內涵縮小，其外延就會擴大.如果學生不能準確地把握數學概念的內涵、外延，那么將會導致數學概念錯誤出現.

例如，“互為余角”這個概念，它的外延是這兩個角與它們所處的位置無關，即使這兩個角相距很遠，但只要它們的和等于90°，這兩個角就為互余，而它的內涵是“具備兩個角，且這兩個角和等于90°，則稱這樣的兩個角互為余角”.然而大部分學生常常只會敘述定義，不去真正理解其本質屬性，內涵與外延分不清，擴大內涵、縮小外延出現互為余角這個概念的錯誤，或縮小內涵、擴大外延而出現互為余角這個概念的錯誤.

（二）概括與抽象能力不強導致數學概念錯誤

概括是從思想中把從某些具有一些相同屬性的事物中抽取出來的本質屬性，推廣到具有這些屬性的一切事物，從而形成關于這類事物的普遍概念.在數學概念的定義中，是把具有共同特點的對象歸納總結在一起，抽象出對象的本質屬性，將其推廣為這一對象的更大范圍的同類數學對象的本質屬性.概括與抽象能力不強就會有可能在數學概念的定義中將一些無關特征當作本質屬性；或者脫離具體背景，僅僅保留其抽象的本質屬性來形成概念的定義.

一是將非本質特征作為本質特征進行概括產生數學概念錯誤；二是只概括部分本質特征，不能正確理解數學概念的本質所產生的數學概念錯誤.如，分式的概念，學生往往遺漏了關鍵的一點——分式的分母中必須含有字母，分子分母均為整式，而造成錯誤的分式概念產生.三是發生異化，即對本質特征加以修正、改變.如，算術平方根的概念，不少學生將其概念中的整數修改為正數，導致概括出來的算術平方根概念是錯誤的.

（三）概念定義與概念意象相脫離導致數學概念錯誤

數學概念是由概念定義與概念意象構成的完整的整體.但是，在大多數情況下，學生的概念定義與概念意象是相脫離的，大多數數學概念的形式化定義與概念本質想脫離造成許多錯誤的產生，特別是那些以檢測概念定義為主要目標的問題，錯誤的概率就更高了.

例如，學生在學習函數定義時，往往用了概念意象形象地記住幾種特殊的函數模型——一元一次函數、一元二次函數、指數函數、三角函數、對數函數，而將函數概念早已置之不理.將數學定義與數學概念意象想脫離最易發生在每個初學者身上，對于大多數的數學概念的學習都潛藏著這種概念定義與概念意象相脫離的現象，只有經過變式、正反例的對比、概念的運用等多種活動的開展后，才會慢慢地將概念定義與概念意象相融合起來.

三、數學概念聯系中形成的錯誤

數學概念之間的聯系一直貫穿于數學概念學習的過程中，例如，新概念與原概念的聯系，概念內容與概念的聯系等.部分學生在學習數學概念時，對概念之間聯系比較僵化，對概念聯系不恰當，從而導致數學概念錯誤的產生.

（一）數學概念聯系僵化導致的錯誤

學生在學習數學概念時，沒有自主去建立概念內部與概念之間的聯系，依賴與教師所建立的結構或教材上現有的結構去記憶其表達形式，或語言表達.然而教師和教材的知識有限，并不能滿足于學生對數學概念的準確掌握.此時，學生所掌握的數學概念是孤立的，所掌握的概念對象是僵化的.這種孤立僵化地看待數學概念而產生的錯誤，一般出現在有高中數學概念交織在一起的復雜背景中，在這種背景中，學生往往同時接觸多個數學概念，只有恰當地解決這些概念之間的聯系，才能從根本上解決問題.比如，把“正比例函數”“一次函數”和“二次函數”的概念放在一個聯系的背景下去理解，比單純地理解其中的一個對象要容易得多.然而，由于部分學生對所掌握的數學概念是孤立的，是僵化的，結果造成這樣一種常見的情形：學生對每一個數學概念很熟悉，甚至能倒背如流，但問題終究解決不了，到運用時卻不知所措.

（二）數學概念聯系不恰當的錯誤

在學習和使用數學概念時，或多或少都要與各種概念進行聯系，如果數學概念的聯系不恰當，將會導致數學概念學習與運用中的許多錯誤：一是將數學概念中的非本質特征作為本質特征與其他概念進行聯系干擾了數學概念之間的聯系的正確建立.二是將數學概念體系中的概念定義、概念性質、概念判定等混為一談.將數學概念的部分定義作為整體概念定義，將數學概念的部分性質當作整體數學概念的性質，將數學概念部分判定用來判定數學概念；或者將數學概念的部分定義與部分性質、部分判定合起來一起去建立數學概念的聯系.以致在數學概念學習中會思維混亂，表現為對概念認識模糊不清，對概念知識掌握太過零散，難以掌握正確的數學概念，甚至將正確的數學概念給歪曲了.三是對數學概念的本質屬性把握比較淺顯，導致數學概念之間的聯系無法正確建立.如，“軸對稱圖形”與“中心對稱圖形”之間的聯系可以說明這一點.在討論對稱圖形時，這兩個概念之間的聯系可以很容易建立，然而當討論完軸對稱圖形再討論中心對稱圖形時，他們將無法接受中心對稱圖形的概念.

四、負遷移形成的數學概念理解和運用錯誤

負遷移包括認知結構與新知產生矛盾以及消極的思維定式.認知結構，簡單來說就是學生頭腦中的知識結構.廣義上，認知結構是學生已有觀念的全部內容及其組織；狹義上，它是學生在某一學科的特殊知識領域內觀念的全部內容及其組織.當學生的認知結構與所學的新知產生矛盾時，認知結構將影響新知識的理解、運用.思維定式，也稱“慣性思維”，是由先前的活動而造成的一種對活動的特殊的心理準備狀態，或活動的傾向性.當在學習數學概念時有了消極的思維定式，將會成為束縛創造性思維的枷鎖.

（一）認知結構與新知有矛盾導致數學概念的錯誤理解

利用原來的認知結構來進一步學習新的知識，一旦認知結構與新的知識有矛盾時，他們將無法對新知識進行理解與運用，導致新知識的錯誤產生.例如，學習復數中的“i2=-1”時，早已有這樣的認知結構“任何實數的平方都是正數”，因此，在學習復數時，無法接受i2=-1，在心理上自覺不自覺地存在一些障礙，導致對復數概念的理解、運用的錯誤產生.

（二）消極的思維定式導致數學概念的錯誤理解

消極的思維定式將會束縛創造性思維，妨礙采用新的方法來正確理解新的知識，導致新知識錯誤的產生.消極的思維定式包括認識上的困難、不適當的類比與只善于簡單思維，不會復雜思維等等，在數學概念的學習中，不同階段的差異性與同一階段內的穩定性存在矛盾，將會使學生在認識上發生困難.例如，函數的概念，在初中階段的定義與高中階段的定義從字面上看是不一樣的，在初中只是描述性的，是作為常量的數學的函數，然而高中是用映射的觀點來解釋，如果在初中時過于強調函數概念的描述性，那么將會使學生在高中時認識函數上發生困難.

在數學概念的學習中，不僅認識上的困難會導致數學概念的錯誤產生，不適當的類比也會導致數學概念的錯誤產生.人們學習新的事物或知識幾乎是從模仿開始的，然后，用類比的方法去解決類似的問題，大部分情況下，解得答案都是正確的，所以，學生容易形成類比思維的定式，但是學生有時候盲目地類比，把不恰當的類比用來學習新的概念，此時類比的思維會對學生學習數學概念起消極作用，導致數學概念錯誤的產生.

在數學概念的學習中，學生反復使用簡單性思維（單向思維和順向思維）去學習新的知識，卻不會用復雜思維（發散思維和逆向性思維）去學習新的知識.例如，學生理解函數列的收斂性概念時，當問學生{fn}在X上一致收斂于f是否有ε>0，Ν≥1，x∈X，則|fn（x）-f（x）|<ε時，許多學生回答錯誤.這是因為學生善于順向思維去學習該概念，而不善于逆向思維去學習該概念.

綜上所述，由于對概念理解不透徹，概念意象模糊性、分散性以及消極的思維定式都會造成數學概念學習過程中出現錯誤.

【參考文獻】

[1]鄭毓信，等.數學思維與數學方法論[M].成都：四川教育出版社，2001.

[2]李建才.初中數學教材教法[M].北京：高等教育出版社，1995：162.