數學問題與數學發展

劉明月

【摘要】數學，其本質就是一種產生問題和解決問題的活動，一個問題的解決又常常是新的問題的起源.數學家們認為任何問題都是可解的，只是時間早晚的事情.各種問題的一次次的解決，促進了數學的不斷發展.而同時數學理論的發展也加速了實際研究的進程.歷史的演變總是可以幫助我們認識到問題的難點和數學上的偉大突破的，學點兒數學發展史絕對有助于理解抽象難懂的數學.

【關鍵詞】數學問題；數學發展；數學應用

數學，其本質就是一種產生問題和解決問題的活動，這些問題可以是容易的或是困難的、膚淺的或是深刻的、理論的或是實用的、純粹的或是應用的……問題之多之雜無窮無盡，一個問題的解決又常常是新的問題的起源.時至今日，數學中已解決的問題和尚未解決的問題還是非常之多.

數學家們認為任何問題都是可解的，只是時間早晚的事情.這就是希爾伯特在巴黎的演講中說的：“對于研究者來說，相信每一個問題都有一個解答，這種信念是一種強有力的激勵.在我們的心中，我們聽到永恒的召喚，這里有一個問題，讓我們找到它的解答.我們單靠理性就能找到它，因為在數學中，沒有任何不可知.”[4]對于各種問題的一次次的解決，促進了數學的不斷發展.

數字大概起源于“結繩記事”等生活的需要，但數學起源于數千年前人們對于天文學的研究.在記錄星體、預測未來的過程中，出現了最早的天文學演算.其中，美索不達米亞人關于太陽運行的數學模型，對于現今的數學建模都有著很大的啟發.如果假設太陽沿黃道勻速運動，優點是模型簡單、易于使用，但缺點是不夠精確.在數學建模中，常常會在使用方便和推算結果的精確之間權衡取舍，就如同魚與熊掌不可兼得一樣.

希臘人使用幾何來研究自然，而美索不達米亞人運用算術和原始的代數研究自然，所以，數學最初的兩個分支就是幾何和代數.人們往往容易對幾何學的描述感興趣，如達·芬奇的守恒定律是體積守恒定律，關于行星運動的開普勒第三定律本質上是面積守恒定律等.[3]但邏輯算術在很多時候更有利于簡化運算、提高效率.隨著數學的發展，幾何學已經還原為數學分析，數學分析已經還原為算術，現在康托爾及費雷格證明算術轉而還原為集合論，也就是還原為純粹邏輯.[3]在此過程中，數學在幾何和代數的基礎上又衍生出了眾多分支.其中，無窮級數和其他“無窮過程”的引入，對西方科學技術的發展產生了深遠的影響.而西蒙.史蒂文是第一個在無窮小分析中進行由幾何到算術的轉變的數學家.而無窮小分析，就是微積分的雛形.

歷史的發展促進了數學在社會各個領域的應用，這些應用也進一步豐富了數學的發展和分類.在文藝復興時期，繪畫巨匠們的作品之所以如此栩栩如生，正是由于他們掌握了透視的基本方法，這導致射影幾何學的誕生.大航海時代，自然推動了地圖、海圖繪制技術的發展，它反過來也推動人們了解曲面的幾何學.[1]同樣，工程畫現已成為了工程技術人員的通用語言.隨著客觀世界的不確定性的大量出現，概率和統計也應運而生.盡管概率論有著并不光彩的出身，但賭徒的問題畢竟使數學家建立起系統的理論，而且有著越來越多的應用.

拋開數學領域的各種分類，就數學本身而言它具有兩面性.一面朝內，面向人類的理念世界和抽象世界，代表數學的純粹性，完全關注學科的創造成果，試圖知道和理解它們是什么（即數學的理論性）；一面朝外，面向客觀世界和物質世界，從而構成應用數學，其動機是功利的，目標是看能用這些創造成果做什么（即數學的應用性）.[4]

人們往往會認為自然科學和物理科學要比數學更為容易一些，這主要是源于數學的純粹性（即其理論性）.自然科學和物理科學所描繪的世界是具體的，是人們能夠感知的，人們通過一些技術手段甚至能夠達到二級近似；而純粹數學所描繪的世界則是由理念構成的抽象世界，只能通過心靈來感知.[2]

好在數學在其產生和發展過程中還有其重要的應用性，從而促進或刺激了數學的各個分支不斷地向前深入發展.例如，實際應用時的計算問題促進了算術的發展；農業生產中的面積等問題刺激了幾何學的發展；物理學中的各種數學應用直接導致數學分析的發展……而且伴隨歷史的發展，人們在實用與功利的動機推動下，不斷地去發展著這些領域的數學理論，從而產生了很多令人意想不到的結果.

實際問題的解決促進了數學理論的發展，反之，數學理論的發展也加速了實際研究的進程.尤其是進入20世紀以來，數學在理論性和應用性兩方面的彼此助長更為明顯.除了一些像物理學、天文學、建筑工程等已經較為完善的科學領域外，數學還在一些像計算機科學、生物學、經濟學等新興科學領域嶄露了頭角.而物理科學當之無愧是產生數學與應用數學最重要的領域，如，它推動了紐結理論、泛函分析和張量演算的不斷發展，而這些理論又成為弦論、量子力學和廣義相對論中的重要理論依據.最優化、一般均衡理論和博弈論的創立解決了經濟上的很多問題，而紐結理論則解決了生物學上的一些困擾了很久的難題.20世紀50年代，馮諾伊曼在研究細胞自動機理論時，受到數學計算理論中一種技巧的啟發，從而制造出了一臺自己能復制自己的機器.而近代計算機的出現則是對數學之恩惠的最大報答之一，計算機的應用和發展從根本上改變了人們的日常生活.就如同無線電波實際上是解微分方程的產物一樣，數學發展的結果是如此深刻，超出了一般人的理解.同時，社會選擇論的出現和發展，表明即使對看上去不太適合做形式分析的人文科學，數學也大有用武之地.

缺少必要的數學就會帶來太多的臆測；離開數學，就會缺少一個共通的、沒有歧義的語言來表達思想；離開數學，區分有用的思想和沒用的思想變得困難了很多.所以，達·芬奇在追求潛在原理的確定性時相信：不以數學為基礎的知識就不可能存在確定性.正是像達·芬奇、牛頓一般的數學家們使得數學和基于數學的科學、技術推動了歷史，使數學變成須臾不可離的東西.而數學的實質在于有一套提出問題和解決問題的普遍理論及方法.

數學的學習已然成為當今學生頭上的一座大山.雖然數學學習本身并沒有什么壞處，但是很多人根本用不上他們所學的數學知識，也沒有掌握數學的思維方法，在理解新的數學知識時仍然感到十分困難.更糟糕的是，很多學生失去了學習數學的動力和興趣.如果一個人單單是為了應付考試才去硬著頭皮學習數學，那肯定是痛苦且不長久的.那么，到底有沒有既能培養學生學習數學的興趣、又能提高學生對于數學的理解力的方法呢？有！那就是學點兒數學發展史.歷史的演變總是可以幫助我們認識到問題的難點和數學上的偉大突破的，而教科書卻很少詳細地闡述什么是重要的，什么是不重要的.只有懂得了這些，才能說是懂得了數學.學點兒數學發展史絕對有助于理解抽象難懂的數學，例如，數學與量子力學和相對論是平行發展的，對學習者會有很大啟發.

【參考文獻】

[1]吳贛昌.微積分（上）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

[2]郭運瑞.高等數學[M].西安：西安交通大學出版社，2010.

[3]塔巴克.數學和自然法則[M].北京：商務印書館，2009.

[4]皮耶爾喬治·奧迪弗雷迪.數學世紀[M].上海：上海科學技術出版社，2014.