孿生質(zhì)數(shù)猜想的研究新途徑

李云祥

【摘要】孿生質(zhì)數(shù)猜想的研究新途徑開辟了孿生質(zhì)數(shù)嶄新的研究方向.此文主要以角表、角表數(shù)鏈為依托進(jìn)行了深入的拓展，發(fā)掘出了角表數(shù)鏈五個(gè)非常有趣的特性，而且角表數(shù)鏈還有更廣闊的研究空間，并且根據(jù)角表數(shù)鏈的性質(zhì)推演出的兩個(gè)證明方法，巧妙地證明出沒有最大的孿生質(zhì)數(shù)，即孿生質(zhì)數(shù)猜想是正確的，還有挖掘出了孿生質(zhì)數(shù)分布規(guī)律的孿生質(zhì)數(shù)分布公式.

【關(guān)鍵詞】角表；角表數(shù)鏈；孿生質(zhì)數(shù)分布公式；孿生質(zhì)數(shù)猜想的巧妙證明

一、角表的認(rèn)識(shí)

如圖1—圖3所示，這樣的圖表很像我們認(rèn)識(shí)的無限延伸的角，所以稱它們?yōu)榻潜?

在圖1中，如果第一橫行和第一豎行的某一個(gè)數(shù)，在其他行中找不到，那么這個(gè)數(shù)就是質(zhì)數(shù).

此角表中的所有數(shù)都沿4，9，16，25，36，…這些平方數(shù)為軸而對(duì)稱.在對(duì)稱位置上的數(shù)都對(duì)應(yīng)相等.根據(jù)這種現(xiàn)象，還可以把圖1改為另一種角表，如圖2所示.

在質(zhì)數(shù)中，除2，5兩個(gè)外，其余的質(zhì)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)都只會(huì)重復(fù)出現(xiàn)1，3，7，9.

個(gè)位上的數(shù)是1，3，7，9的任何合數(shù)，都是個(gè)位上的數(shù)是1，3，7，9的數(shù)相互乘得到的（除了數(shù)1外），所以角表（圖2）又可以變?yōu)槿鐖D3所示的角表.

二、角表數(shù)鏈的認(rèn)識(shí)

根據(jù)圖3，把個(gè)位上的數(shù)是1，3，7，9的數(shù)排列成數(shù)列（除了數(shù)1外），并分別劃去各質(zhì)數(shù)的倍數(shù)（質(zhì)數(shù)的倍數(shù)是只包括不小于質(zhì)數(shù)的平方數(shù)的倍數(shù).此論文中出現(xiàn)的質(zhì)數(shù)的倍數(shù)都是這樣的），剩下的就是質(zhì)數(shù).

此數(shù)列和前面的角表密切相關(guān)，又似環(huán)環(huán)相扣的鐵鏈，所以為方便稱其為角表數(shù)鏈.

此角表數(shù)鏈，從數(shù)3開始，以從小到大的順序排列到數(shù)7 017（此角表數(shù)鏈在此論文中只是一小部分）.在此角表數(shù)鏈中出現(xiàn)的5 000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，經(jīng)查閱上海辭書出版社1992年8月第一次出版的《數(shù)學(xué)詞典》中的“5 000以內(nèi)的素?cái)?shù)表”后都正確.還找出《數(shù)學(xué)詞典》中的“5 000以內(nèi)的素?cái)?shù)表”里有兩處錯(cuò)誤：一是多排了一個(gè)質(zhì)數(shù)4 691，應(yīng)該是質(zhì)數(shù)4 391；二是誤排了一個(gè)合數(shù)4 963，應(yīng)該是質(zhì)數(shù)4 933.

（說明：角表數(shù)鏈中，某數(shù)上標(biāo)有箭頭和質(zhì)數(shù)的，這個(gè)數(shù)就是能被此質(zhì)數(shù)整除的合數(shù)，而沒有標(biāo)有箭頭和質(zhì)數(shù)的數(shù)就是新的質(zhì)數(shù).為了書寫方便，此數(shù)鏈都按從小到大的順序，以“弓”字形的形式，曲折來回地排列）

4.某質(zhì)數(shù)到下一個(gè)相鄰質(zhì)數(shù)的差值數(shù)后面不跟孿生質(zhì)數(shù)的是8，14，20，26，32，38，44，….

在上面這個(gè)數(shù)列中，能產(chǎn)生質(zhì)數(shù)位置上的數(shù)，不論被某些質(zhì)數(shù)怎樣整除，差值數(shù)是8，14，20，26，32，38，44等后面都不會(huì)跟孿生質(zhì)數(shù).這是受距離是30的最小循環(huán)單位的限制形成的.

因此，在最小循環(huán)單位的限制下，在角表數(shù)鏈中就有下列兩種情況：

（Ⅰ）某質(zhì)數(shù)到下一個(gè)相鄰質(zhì)數(shù)的差值數(shù)后面跟孿生質(zhì)數(shù)的差值數(shù)是4，6，10，12，16，18，22，24，28，30，34，36，…，（A+6r），（B+6r）（A取4，B取6，2+A=B，r取0和任意自然數(shù).差值數(shù)是1，2的是因?yàn)榘奄|(zhì)數(shù)2和5考慮進(jìn)去了，而在角表數(shù)鏈中不考慮，所以在角表數(shù)鏈中不考慮差值數(shù)是1和2的）.

（Ⅱ）某質(zhì)數(shù)到下一個(gè)相鄰質(zhì)數(shù)的差值數(shù)后面不跟孿生質(zhì)數(shù)的差值數(shù)是8，14，20，26，32，38，44，…，（C+6r）（C取8，r取0和任意自然數(shù)）.

（五）某質(zhì)數(shù)到下一個(gè)相鄰質(zhì)數(shù)的差值和下一個(gè)質(zhì)數(shù)到另一個(gè)相鄰質(zhì)數(shù)的差值相等的質(zhì)數(shù)組，為方便稱為等質(zhì)數(shù)；等質(zhì)數(shù)中相鄰質(zhì)數(shù)間的差值，為方便稱為等質(zhì)數(shù)值.

研究角表數(shù)鏈發(fā)現(xiàn)，等質(zhì)數(shù)值只會(huì)是6，12，18，24，30，…，6r（r取任意自然數(shù).等質(zhì)數(shù)值是2的不研究，因?yàn)樵诮潜頂?shù)鏈中不研究質(zhì)數(shù)2和5）.

這種現(xiàn)象是由最小循環(huán)單位的限制形成的.從下列數(shù)列中可以看出來：

在上面這個(gè)數(shù)列的兩個(gè)最小循環(huán)單位中，如果能產(chǎn)生質(zhì)數(shù)位置上的數(shù)，被任何質(zhì)數(shù)任意整除后就會(huì)形成不同的等質(zhì)數(shù)值的等質(zhì)數(shù).

四、孿生質(zhì)數(shù)在角表數(shù)鏈中的性質(zhì)

從角表數(shù)鏈中可以看出，當(dāng)不考慮（除質(zhì)數(shù)3的倍數(shù)以外）其他任何質(zhì)數(shù)的倍數(shù)的分割時(shí)，每一個(gè)最小循環(huán)單位（y=3×10=30）就有y3×10×3對(duì)孿生質(zhì)數(shù)（或?qū)\生數(shù)）（孿生數(shù)是指在某個(gè)循環(huán)單位中，不被這個(gè)循環(huán)單位所包含的各質(zhì)數(shù)整除的，能產(chǎn)生孿生質(zhì)數(shù)相應(yīng)位置上的數(shù)）.

例如，9～39之間有11和13，17和19，29和31三對(duì)孿生質(zhì)數(shù)；19～49之間有29和31，41和43，47和49三對(duì)孿生數(shù)；121～151之間有131和133，137和139，149和151三對(duì)孿生數(shù).

在每一個(gè)距離是y1=3×7×10=210的循環(huán)單位中，只考慮含有質(zhì)數(shù)3，7的各倍數(shù)的分割時(shí)（此各質(zhì)數(shù)的倍數(shù)分別指不小于32的倍數(shù)和不小于72的倍數(shù)），每一個(gè)最小循環(huán)單位中的三對(duì)孿生數(shù)中的六個(gè)數(shù)，在每一個(gè)距離為210的循環(huán)單位中相應(yīng)位置上的數(shù)都被質(zhì)數(shù)7各整除了一次，所以，此每一個(gè)循環(huán)單位就有 ……

同理得，在每一個(gè)距離為yx=3×7×…×n（x-1）×nx×10的循環(huán)單位中，只考慮包含質(zhì)數(shù)3，7，…，n（x-1），nx的各倍數(shù)的分割時(shí)（此各質(zhì)數(shù)的倍數(shù)分別指不小于32的倍數(shù)，不小于72的倍數(shù)……不小于n2（x-1）的倍數(shù)和不小于n2x的倍數(shù)），則每一個(gè)距離為3×7×…×n（x-1）×10的循環(huán)單位中的m（x-1）對(duì)孿生數(shù)，在每一個(gè)距離為3×7×…×n（x-1）×nx×10的循環(huán)單位中相應(yīng)位置上的2m（x-1）個(gè)數(shù)，都會(huì)被質(zhì)數(shù)