縱談數e

馬春雨

【摘要】數e是數學中的重要常數之一.在基礎教育和高等教育的教材中對e有不同角度的定義.本文主要從由來和定義兩方面對e進行介紹.

【關鍵詞】數e；由來；定義

歷史上數e的出現離不開對數的研究.17世紀初，蘇格蘭數學家約翰·納皮爾發明了對數.1618年，他在出版的著作中附錄了一張自然對數表.自然對數的出現是歷史上第一件與數e有關的事.但遺憾的是，當時人們并不知道自然對數的底就是常數e.

首次發現數e的是數學家雅各布·貝努力.他在1683年研究復利時，證明了當n趨近于無窮時數列1+1nn有極限，這個極限值其實就是數e.但貝努力當時并沒有認識到這個極限與對數間的關系，也沒有把兩者聯系在一起.

數e第一次被正式提出是在1690年數學家萊布尼茲寫給惠更斯的信中，但他將這個常數記為b，而不是e.

最后，是由歐拉確定了用字母e表示這個常數，原因有多種說法：一說是因為e是“指數”（exponetial）的首字母；另一說法是a，b，c，d有其他常用表示，e就成了第一個可用的字母；還有一說是歐拉用自己名字Euler的首字母，不過這更可能是個巧合，因為歐拉是個謙虛的人.歐拉從1727年就開始對e進行研究.在1748年出版的《無窮小分析引論》中，他對自己的發現作了完整的敘述和總結：他同樣把數e定義為極限 limn→∞1+1nn，并證明了e=1+11！+12！+13！+…；他取上述公式的前20項進行計算給出數e的前18位：e≈2.718281828459045235；他定義了以e為底的指數函數與對數函數（即自然對數）；此外他給出了數e和以e為底的指數函數的冪級數展開式，以及它們的連分數展開式；最突出的是他借助于e證明了著名公式eiπ+1=0，被稱為歐拉公式.

自此，以e為底的指數函數與對數函數逐漸進入數學的各個領域，成為分析解決問題必不可少的工具.

在基礎教育階段，數e出現在高中數學必修一對數那一章節，教材中簡略提到：“有一種以無理數e=2.71828……為底數的對數，稱為自然對數.”在維基百科中，數e的定義為：“把自然對數的底稱為數e.”這構成了一個定義的循環，我們不禁會想為什么將數值如此奇怪的e稱為“自然”？

17世紀中葉，數學家們發現雙曲線下的面積和自然對數之間有非常奇妙的關系∫x0dxx=ln|x|，并逐漸發現許多重要的函數、極限、微分和積分都與自然對數密切相關.利用微積分的知識就能解釋出e的“自然性”.對于一般的對數函數y=logax（a是不等于1的正數）求導，得到y′=1xlna，而當a=e時，會有y′=1x，相比上式而言對自然對數y=lnx求導的結果要簡約自然得多.

積分是微分的逆運算，由于∫x0dxx=ln|x|+c（c是常數），且對于一般的式子求積分∫f′（x）dxf（x）=ln|f（x）|+c（c是常數）.這說明，當對一個滿足分子是分母微分的分式求積分時，得到的就是以e為底的分母絕對值的對數.如此看來，以e為底的對數確實自然.

高等教育的教材中是從極限的角度給出數e的定義，即e=limn→∞1+1nn.它遵循的是雅各布·貝努力研究復利的思路：利用二項式定理，證明數列1+1nn嚴格遞增，且恒小于3，即數列1+1nn是有界的，再由單調有界定理可知 limn→∞1+1nn存在，即為e.其實，數e可以通俗地解釋為“增長的極限”，貝努力研究的復利實際上是提供了一個關于數e的具體模型.除此之外，生活中細菌的增長等也滿足極限e.

【參考文獻】

[1]陳仁政.e的密碼[M].北京：科學出版社，2011.

[2]朱啟州.常數“e”漫談[J].中學生數學，2007（03）：30.

[3]胡典順.神奇的常數——e[J].數學通訊，2010（06）：63-64.

[4]梁洪亮.數e簡介[D].商丘：商丘師范學院，2004.

[5]李忠.數e來龍去脈[J].數學通報，2008（05）：1-3.