解立體幾何題的思路分析

梁華

立體幾何是數學中的一個重點知識，通過立體幾何的相關習題的訓練，既能夠訓練空間思維能力和想象邏輯能力，又能夠鍛煉數學計算能力，是培養數學思維能力的有效題目.對于立體幾何的解題來說，不斷進行習題解決的過程就是對知識不斷鞏固和重復的過程，解決立體幾何的相關習題，既能復習所學知識，又能夠應用新思想，拓展新思路.

一、數形結合，化抽象為具體

數形結合方法是數學中解決習題的一種常用方式，在數學的多種習題中都有應用，比如，函數類問題需要結合函數圖像進行解決，橢圓、雙曲線問題需要借助畫圖等，在立體幾何中，數形結合方法也同樣適用，甚至應用數形結合的方法可以使立體幾何的習題更加簡單化.數形結合方法就是指，在進行習題的解決過程中，將數學問題與立體幾何的圖形問題進行相互轉化，將原本抽象的數學圖形問題轉換為圖形與代數相結合的方式進行解決.通過數形結合的解題方法，可以使原本抽象的圖形變得具體化、形象化、方便理解，從而使得解決問題的過程變得更加輕松.在立體幾何中應用數形結合方法需要我們讀懂題目，了解題目中圖形的具體特征，能夠根據圖形的特點和規律構造相關的代數方程，最終通過解方程的形式解決立體幾何的相關問題.

例1如圖所示，在一個長方體房間中，一只螞蟻要從房間的A點爬到C′點，已知長方體房間為6 m×8 m×10 m，求螞蟻需要爬行的最短距離？

分析題目要求的是螞蟻的最短路程，這是一個最短距離的問題，但是最短距離的問題只在平面圖形中涉及，在立體幾何中又該如何解決呢？于是解決問題的最簡單有效的方法就是將立體幾何的問題轉化為平面圖形的問題，進而通過代數運算進行解決.在這道題目中，可以將立體圖形進行展開，于是所求的最短路程就是平面中線段AC′的距離，計算的方法就是AC′=（AD+CD）2+CC′2.這樣，通過將立體幾何的問題與代數問題進行結合，就可以使立體幾何的問題變得簡單、具體、易于理解.

二、向量計算，化復雜為簡單

在立體幾何的解決方法中，還有一種簡單有效的解決問題的方法，就是向量計算法.向量計算法是指在利用立體幾何的三視圖以及斜二測圖，通過在立體幾何中建立三維坐標系，代入向量，應用數學知識以及數學語言，實現立體幾何的計算的方法.立體幾何的計算往往涉及平方計算、開方計算，在計算數據簡單的情況下，平方與開方計算能夠相對簡單，但是在計算數據復雜的情況下，計算的難度就大幅度提升，計算的錯誤率也會隨之提升，而在立體幾何的計算中應用向量可以大大降低計算的難度.在立體幾何的向量計算法中，需要對向量的位置關系以及數量關系進行判斷，進而找出向量的夾角或者利用向量之間的平行以及垂直關系實現題目的計算.向量計算的方法在立體幾何求解異面直線間距的問題時，可以有效減少計算的時間，同時大大提高解題的正確率.

例2如圖所示，在空間直角坐標系中，有一個正方體ABCO-A′B′C′D′，其棱長是a，則A′C的中點E與AB的中點F之間的距離為多少？

解析由于題目中給出了直角坐標系，顯然是讓我們利用向量法進行計算.由于題目的已知，所以不需要我們再建立直角坐標系進行計算，我們可以根據給出的圖，找出所需要的點

三、分割補充，化雜亂為規則

在數學習題中，對圖形進行分割或者補充來簡化原本的題目也是一種數學思想.立體幾何中的割補法就是這種數學思想的產物，割補法分為兩個方面，分割：即將原來的立體圖形進行分割，分割成多個易于計算的幾何體，方便問題的解決.補充：即在原有立體圖形的基礎上，對原來的圖形進行補充，使之成為一個易于觀察的幾何體，方便計算.不管是分割還是補充，其根本目的都是為了簡化計算，從而將原本的不規則立體圖形轉換為規則的立體幾何圖形，通過這樣的分割和補充的方法解決立體幾何的問題，對數學思維以及空間想象能力的培養也大有好處，是一種高效、有益的解決數學問題的方法.

例3如圖所示，有一個被平面截得的圓柱體，被截后，其最長的母線長為5，最短的母線長為2，且圓柱體的底面半徑為3，求被截后的幾何體的體積是多少？

分析對于這樣的題目，我們在看到題目之后，知道該幾何體是由圓柱體被截后得到的，那么要計算該圓柱體的體積，我們可以采用補充法，運用想象，我們將兩個完全相同的幾何體進行拼湊，使之成為一個完整的圓柱體，這樣就能夠通過求解圓柱體的體積，進而求出不規則幾何體的體積，實現問題的解決.

總而言之，對于立體幾何習題，只要掌握好解決的每一種方法：數形結合法、向量計算法以及割補法，那么立體幾何的問題就能迎刃而解.面對立體幾何的題目，應當保持冷靜的心態，不應當被其煩瑣的計算、復雜的思路所困擾，而是應當進行認真的審題、仔細的計算，在不斷的練習中逐漸提高自身的數學邏輯能力以及空間想象能力，實現素養的提升.