點差法在圓錐曲線中的應用和局限性

張明

點差就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點坐標的時候，利用直線和圓錐曲線的兩個交點，把交點代入圓錐曲線的方程，并作差，求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程.

“點差法”常見題型有：求中點弦方程、求（過定點、平行弦）弦中點軌跡、垂直平分線、定值問題.利用點差法可以減少很多的計算，所以在解有關的問題時用這種方法比較好.

一、以定點為中點的弦所在直線的方程

因為Δ<0，所以直線與雙曲線無公共點.

所以滿足條件的直線不存在.

怎么回事？用“點差法”好像出問題了，為什么會這樣呢？

分析：我們之前就這么兩邊減了一下，只能說明，如果那條直線存在，那么斜率就是它.注意這里是“如果”，它不能保證直線一定存在.“點差法”不能保證存在性.其實我們高中數學中用的韋達定理也是一樣.韋達定理描述的是一元二次方程根與系數的關系，用它是同樣不能保證原方程有實根.所以，我們在用“點差法”和韋達定理解題時，一定別忘記檢驗.