把數學建模思想融入常微分方程課程中的探討

屈紅雁++杜潤梅++徐文達

【摘要】常微分方程在各學科、各領域中有著廣泛的應用，為提高學生的學習興趣，我們探討了如何把數學建模思想融入常微分課程中來，并介紹了兩個應用案例.

【關鍵詞】常微分方程；數學模型；建模

【基金項目】吉林省高教學會高教科研課題2016年度立項課題數學模型在大學數學教育中的應用研究（課題編號：JGJX2016D71）.

大學數學課程主要培養學生的邏輯思維能力以及運用所學的數學知識計算和證明數學問題.可是大部分學生會發現在面對實際問題時，他們還是不知道怎樣利用數學知識去解決.同時，還會覺得數學知識枯燥乏味、高深難懂，逐漸就失去了學習數學的熱情和鉆研精神.這是大學數學課程中普遍存在的問題，而且也是大學數學教師迫切需要解決的問題.

數學建模是一個創造性的思維鍛煉，它通過對實際問題進行分析，根據其內在規律，在一些必要的簡化假設下轉化成數學問題，進而通過數學方法來求解.把數學建模的思想融入大學數學課程中是一個行之有效的方法.一方面，通過數學建模能夠使學生認識到實際問題和數學問題的聯系，增加學習數學知識的興趣；另一方面，在解決實際問題時，又必然要用到數學工具，從而增加學生學習數學知識的動力.很多大學數學教師都在探索如何將數學建模的思想融入大學數學課程中，以此調動學生學習數學的積極性.

常微分方程是大學數學課程中的一門與實際應用緊密聯系的課程.常微分方程是由物理學、天文學、生物學、經濟學等眾多的自然科學和社會科學領域中的實際問題提出的，通過運用微積分的理論及計算方法來研究常微分方程的解及解具有的性質.雖然常微分方程在實際生活中具有廣泛的應用，但是很多學生并不知道或者知之甚少，從而缺乏學習的動力和興趣.因此，在常微分方程課程中融入數學建模思想是必要的，也是可行的.若能把數學建模思想融入常微分方程的教學中，那么學生能夠深刻認識到所學知識的用途，提高學習熱情，獲得良好的教學效果.

一、一階常微分方程的建模案例

程的解為

N（t）=N0ert，t>0.

值得注意的是這個模型有一定的局限性，即隨著t的增加，人口數將以指數級增加，這是不現實的.出現這樣的情況是因為沒有考慮到環境容許的最大容量.但是這個模型可以描述某個地區短期的人口數量.事實上，這個模型與19世紀以前歐洲某些地區人口和遷往加拿大的歐洲移民人口都大致吻合.

二、常微分方程穩定性理論的應用舉例

在某些實際問題中，若關注的焦點不是每一時刻的狀態，而是當時間充分長以后的狀態時，我們不需要求解問題，而可以利用常微分方程穩定性理論，直接研究解在很長時間以后的狀態的穩定性即可.

漁業是可再生資源，漁場主應當在持續穩產的前提下追求最大效益，這就需要控制捕撈量.捕撈量過大，魚量將持續減少，不利于長期發展；捕撈量過少，漁場主的效益不好，甚至虧本.因此，我們需要通過建立模型確定合適的捕撈量.

常微分方程在很多問題上都有重要的應用，但是在課堂上選取案例的時候，還應該注意以下幾點：1.所選案例不能過于復雜，只要學生能體會到常微分方程的應用即可，否則容易喧賓奪主，影響正常的教學進度；2.所選案例要有實際應用的背景，貼近生活，通過模型假設和分析將實際問題轉化為常微分方程問題，將常微分方程與實際生活緊密聯系起來，能夠增加學生學習常微分方程課程的興趣；3.在講解案例時，可以適當應用數學軟件和畫圖軟件，使學生對微分方程的理論有更直觀的認識，加深學生對常微分方程知識的理解.