基于自助餐定價問題的數學表述

段玉潔

摘 要：自助餐，起源于公元8世紀-11世紀北歐的“斯堪的納維亞式餐前冷食”和“亨聯早餐”。自助餐是一種由賓客自行挑選、拿取或自烹自食，餐廳提供簡單服務的就餐形式。自助餐進入中國餐飲市場后，發展迅速，已成為一種時尚飲食文化。尤其因為自由、休閑的飲食方式受到大家的追捧。

但隨著生活水平的提高、服務能力的增強和自助攻略的出現，自助餐的營銷能力明顯下滑。作為如今生活中，比較流行的一種餐飲方式，伴隨著自助餐“檸檬化”市場的“非檸檬化”，自助餐的經營問題引起人們的關注。

我們從自助餐的成本與銷售量兩個角度來分析問題，從經濟學的角度與自身模型合理的假設，推導出成本與價格、銷售量與價格之間的函數表達式。再利用極值的概念去求解出價格的合理取值與較合理的取值范圍。

我們利用隨機過程中的求解隨機變量均值的方法加上大數定律，制定出市場中均衡時的自助餐價格。由于考慮到不同城市消費水平不一致，所以在成本低于市場平均消費水平時，價格波動趨勢要小于成本的波動趨勢；成本高于市場平均消費水平時，價格波動也會較緩慢。而高于平均市場價格的價格幅度即體現了不同城市消費水平的不同。

關鍵詞：成本；銷售量；消費水平

一、問題背景

自助餐因菜品的多樣化、酒水供給充足、環境優雅等上好的條件，再加上經濟劃算，受到了人們的歡迎。但很多想開自助餐廳的朋友，對定價問題感到甚是苦惱，覺得不知道怎么定價比較合適。

自助餐作為一種薄利多銷的餐飲方式，如何合理地定制價格就顯得尤為重要。如果價格定制的太低，雖然會吸引來不少的顧客，但由于成本的問題會導致店家無法正常運營；同樣的，如果價格定制的太高，會導致客流量較少，而自助餐飲業獲利的主要方式就是靠人氣。

既使得商家覺得有利可圖、存有商機；又使得消費者覺得物美低廉、有消費的欲望，只有給自助餐定合理的價格才有實現這種共贏的可能。

二、問題求解

1.確定成本與價格之間的關系

由問題分析中的內容我們知道，成本與價格之間的關系由成本與自助餐市場平均消費價格的大小來決定，所以我們要首先確定自助餐市場的平均消費價格。

（1）計算自助餐市場的平均消費價格（P）

A.假設菜品共有n種，就餐的人共有m人，另Xi（j）表示第i個人對第j種菜品的攝入量，這是一個隨機變量。雖然對于每個人來說，在選取菜品之前，對各種菜品的偏好是已知的。但由于店家在對自助餐定價時，是不可能完全了解每個人的飲食喜好的，所以消費者對各種菜品的攝取量都可看作是隨機的。這樣組成了一個可測空間。

在計算每個人的花費均值時，某種菜的價格對自助餐價格的貢獻度可以用該種菜的價格占所有菜品總價格的比例來刻畫。在可測空間內引入概率這一測度后，轉化為一個樣本空間。此時的樣本空間（ ）為全部樣本點的集合，即m個人對種菜存在的全部可能攝取情況。

至此，求解自助餐的平均消費價格問題可以轉化為求隨機變量的均值問題。

對于任意i，j都滿足 。以第一個人為例，求隨機過程 的數學期望，求出的這個值表示在第一個人吃自助餐時的定價E（X1）。

其中：V（i）表示第i種菜品的成本； 表示自助餐廳全部菜品的總成本

B.對單個人的定價情況。但是，針對不同的消費者來說，他們的飲食喜好與攝入量的多少都是不同的，而且不同消費者在確定價格時都是不相關的。所以，通過上述結論，對不同消費者來說，我們得到一組確定的價格 。

由于滿足大數定律，得自助餐廳的平均消費價格P為：

（2）確定成本與價格之間的近似函數

當成本小于市場平均消費價格時，因變量相比自變量變化更陡峭；當成本大于市場平均消費價格時，因變量相比自變量變化更平緩。在平均消費價格周圍，這是一個典型的凹函數圖像。

由專業知識我們知道，多項式函數可以去逼近任意函數，所以我們近似用多項式函數去刻畫成本與價格之間的關系。

設為：

根據我們分析的內容，我們可以知道在P=P處，函數與P=C這條線最遠。在這里，我們為了簡化處理問題，記 ，其中α表示的意思為當收入增加一單位時，消費增加的單位數。收入增加的越多，α就越小。我們用收入增加多這一指標來刻畫城市較發達，進而愿意支付的自助餐價格也較高，即P值不同，且多支付的部分即為自助餐的價格與1—α的乘積。

至此，我們得到另外兩個條件：①函數在P=P處的 最大，且 ②函數在P=P的導數值為1

解之得：

故：

2.確定銷售量與成本之間的關系

分析了內蒙古某地方自助餐廳的實際數據，得到銷售量與價格之間的關系如下圖所示。

利用matlab軟件進行了數據擬合，得到最優的函數關系為：

得到的數學表達式也通過了嚴格的統計學檢驗。

由經典經濟學內容可知，銷售量與價格成反比。通過查閱文獻資料，發現銷售量與價格之間的關系用一元二次函數來刻畫更為貼切，即設：

聯立得：

對利潤函數求導，得：

其中：

即所求價格便為自助餐定價的合理價格。

參考文獻：

徐迅.杭州環西湖四星級酒店自助餐經營模式探索與實踐[J].商業文化（上半月），2012，（01）：70-71.