數學求異性思維的發現與探究

劉國林

一次批改中，一道“在 和 之間填入一個分數”的題目，多數同學用通分方法求得：

> ，通分后 > ，推得 > ，找到所填數 ，即 > > 。但偶爾發現一個同學填 >（ ）> 。我問他，他說是把分子相加1+1=2做分子，分母相加2+3=5做分母，得到 > > 的。這樣做對嗎？于是我用30做公分母，通分驗證得到 > > ，可見在 和 之間填 是正確的。而后我又舉例驗證：在 和 之間填一個分數，使得 >（ ）> ，按上面學生的方法 = ，我把 >（ ）> ，通分驗證得出： >（ ）> ，即 >（ ）> 正確。那么這種解法具有可靠性嗎？于是我又做了如下推廣證明：假設 > （a、b、c、d均為正整數，且a、c不為0），那么 > > 。

證明（1）因為 > （已知），用ac做公分母通分得 > ，推得bc>ad（同分母分數比較大小，分子大的分數值大）；（2）求證 > 是否成立。

證明（2）：將 > 通分得 >

推得b（a+c）>a（b+d）（分母相同，分子大的分數值大），展開后得ab+bc>ab+ad。左右兩邊同時減去ab推得：bc>ad，這個結果與已知條件推得證明（1）結果相同，證得 > 成立。求證（3） > 是否成立。

證明（3）：將 > ，通分得 > ，

推得：（b+d）c>（a+c）d，展開后得bc+cd>ad+cd （分母相同，分子大的分數大），兩邊都減去cd推得bc>ad。與證明（1）推得結果相同。

此結論與已知條件推得結果相同，證得 > 成立。所以經證明得知，如果 > （a、b、c、d均為正整數，且a、c不為0），那么 > > 成立。

為此，我確信“在兩個不等的分數之間填上一個分數，或幾個分數”的題目，不但可以用通分方法解答，還可以用“兩個分母和做分母，兩個分子和做分子”的方法，寫出之間的分數，而且這種方法比通分方法更快捷。

例如：在 與 之間依次填出5個分數

即： > > > > > > 。

但這種方法有局限性，如果在兩個不等分數之間填十幾個或更多的分數，就不如通分方法快捷了。

如在 和 之間填分數時之間

填1個分數的公分母：6*（1+1）

填2個分數的公分母：6*（1+2）

填3個分數的公分母：6*（1+3）

填n個分數的公分母：6*（1+n）

當 > （a、b、c、d均為正數，a、c互質且均不為0）時，之間

填1個分數的公分母：ac*（1+1）

填2個分數的公分母：ac*（1+2）

填3個分數的公分母：ac*（1+3）

填n個分數的公分母：ac*（1+n）

如在 和 之間依次填出10個分數，用通分的方法就比較快。要填入10個分數，他們的公分母應是2*3（10+1）=66， = ， = .那么在 和 之間填的10個分數依次是 > > > > > > > > > > > .

再如，在 和 之間一次填出100個分數，其中最小的是多少？最大的是多少？利用“分子相加得分子，分母相加得分母”的方法就更難以解決了。而利用通分方法就很容易。方法是所有分數公分母是：2*3*（100+1）=606，

= ， = ，在 和 之間填入100個分數中最小的是 ，最大的是 .

經歷批改中的發現和偶得，不僅使我獲得學生成長的驚喜，也收獲了教學相長的快樂與思考。感謝學生求異性思維的發現與探究。