數學學習的錯覺現象及其教學對策

古雯

摘 要：學習數學時，學生對抽象的概念、定理難以抓住本質，常常產生錯覺，從而導致無法正確解決數學問題。為了克服錯覺帶來的負效應，本文對什么是“數學錯覺”、數學錯覺的分類以及教學對策進行闡述。

關鍵詞：錯覺；數學；教學

面對一道數學題，學生若無法正確求解題目，一方面是由于好的念頭沒有產生，毫無頭緒；另一方面則是由于產生了錯覺。因此筆者認為有必要研究數學學習中的錯覺現象，并就此現象提出了一些個人見解。

1 何謂“數學錯覺”

我們通常在知覺客觀對象時，總是以過往的知識和經驗去反映客觀對象，由此形成了具有個人特點的主觀印象。但是主觀印象并不一定符合實際，我們把對客觀事物的不正確的知覺稱為錯覺[1]。而數學錯覺即在數學學習中，對數學對象（例如概念、定理、法則等）不正確的知覺。

2 數學錯覺的分類

2.1 視覺性錯覺

當人在觀察物體時，由于客觀因素的干擾或者自身的心理因素支配，對圖形可能產生與客觀事實不相符的錯誤的感覺[2]。視覺性錯覺是錯覺中最常見的情形。

2.2 定勢性錯覺

所謂定勢性錯覺，是指人們一旦形成某種定勢，由于來不及適應外界情景的細微變化，常常產生錯覺，從而妨礙對新問題的解決[3]。在數學學習中，由于大量訓練，學生的認知結構中對特定的題型有著特定的方法和解題模式，因此遇到類似題型時，傾向于用原有的解題模式來套用于該題。

然而，定勢性錯覺不僅導致學生在解題中出現錯誤，而且對于新的定理、概念的學習也會造成負遷移。由于學生習慣于舊的思想方法，不能很好地運用數學思想方法和數學觀念去實現舊知識向新知識的轉化，難以抓住新知識的本質，從而影響數學學習的同化和順應。例如，在對數運算的教學中，不少學生會出現形如lg（a+b）=lg a+lg b的公式，這是由于學生將此處的符號“lg”看成一個數參與運算，而學生前面已經學習過乘法分配律a（b+c）=ab+ac。根據巴甫洛夫的條件反射理論中關于泛化律的揭示中表明某一種條件反射一旦確立，就可以由類似于原來條件刺激的刺激引起。此時lg（a+b）類似于a（b+c）。在泛化律的作用下，容易引發錯誤的反應：“lg a+lg b”。

例1求過（0，1）的直線，使它與拋物線y2=2x僅有1個公共點。

錯解：設所求直線為y=kx+1，聯立

，消去y，可得 ，

∵直線與拋物線僅有一個公共點，∴△=0，故 。

∴所求直線為 ，即 。

分析：這里發生了3個錯覺，①由于對公式的適用條件模糊，認為過（0，1）的直線一定能夠表示為y=kx+1，遺漏了斜率不存在的情形；②由于定勢思維，認為只有1個公共點等同于直線與拋物線相切，其實還有直線與拋物線對稱軸平行的情形；③誤以為 有1個實根就是“△=0”，實際上應分k=0，k≠0兩種情況討論。

2.3 停滯性錯覺

當數學知識豐富拓展或題目信息條件有所變化時，思維仍停留在原來的基礎，難以辨別前后情形的本質不同，思維跟不上從而導致的錯覺稱為停滯性錯覺。

例2 關于x的一元二次方程

，方程存在整數根嗎？若存在，求出m此時的范圍。

錯解：根據一元二次方程，求得

故

若方程有整數根，則△≥0且 是完全平方數

因為 不是完全平方式，所以不可能是完全平方數，即方程不存在整數根。

分析：在該題的解答中可以看出，學生沒有理解完全平方式和完全平方數的不同，認為m2-4m-8不是完全平方式，故對于任意m∈Z，均不可能是完全平方數，心理上仍停滯在認為開的出來才是完全平方數。而事實上，若k=6，m2-4m-8=4是完全平方數。

3 教學對策

研究數學學習的錯覺現象有兩方面的意義，一是利用錯覺，使其在教學活動中產生預期的心理效應；二是設法避免錯覺帶來的負面影響，使學生對數學對象的知覺盡可能符合客觀實際。

3.1 利用錯覺對策

1.設置“陷阱”，激發求知欲

根據學生的認知規律和認知經驗，設置“陷阱”，使學生面對問題情境時容易產生錯覺，此時可通過反問等方式，激化學生的認知矛盾，給學生制造心理上的缺口，從而使學生產生強烈的求知欲，迫切想要彌補其心理上的缺口，由“要我學”變為“我要學”，從而集中注意力進入新授環節，明顯提高教學質量。

2.反思結果，提高思維的嚴謹性和創新性

在思維定勢的作用下，學生容易陷入機械地套用解題模式，從而造成錯誤，甚至會出現與實際情形完全不符合的結果。此時學生會反思解題過程，發現問題。通過多次經驗積累，學生會逐漸避免此類錯覺，從而解題能力得到提升。另外，在這個過程中，學生會打破頭腦中一些固有的思維順序，明白要根據實際情形處理問題，從而更為靈活地運用數學知識。

3.2 克服錯覺對策

1.概念教學不斷深入，充分利用“變式教學”

課前充分了解學情，根據學生認知的心理特點設計概念教學的引入，關注學生的相關活動經驗。更重要的是，應加強對概念的解剖分析，緊緊抓住關鍵，闡明概念的內涵和外延，讓學生真正理解概念、定理的本質。而“變式教學”是突出概念本質屬性的重要手段，即教師通過一系列的變式，不斷變化非本質屬性來突出本質屬性，使學生對概念的理解更準確。因此，變式教學可以很大程度上輔助概念教學。

2.關注知識間的聯系，加強對比練習

在學習新知識前，教學可以以新、舊知識的內在聯系作為新知識的增長點，但由于有些數學概念之間聯系緊密、形式相似，學生習慣于舊知識的思維方式，受到舊知識的束縛，造成新舊知識混淆，此時要加強對比練習，將新、舊知識的概念擺在一起，讓學生去比較他們的不同之處，在比較中不斷鑒別，從而明辨知識。

3.強調“眼見不一定為實”，多實驗思考

視覺性錯覺說明，有時觀察得到的結論不一定正確，因此教師可在教學中多提供此類反例，從而幫助學生認識到，要對事物作出判斷，僅僅靠觀察是不準確的，必須基于對事物的觀察、實驗與思考。

參考文獻

[1]何小亞.數學學與教的心理學[M].華南理工大學出版社.2011

[2]竹內龍人.大吃一驚??！眼見不為實[M].中國少年兒童出版社.2015

[3]尹道晨.數學解題中的錯覺定勢[J].濟南教育學院學報.2002（10）