鄰域自適應(yīng)增量式PCA-LPP在齒輪箱故障診斷中的應(yīng)用

鄧士杰， 唐力偉， 張曉濤

(軍械工程學(xué)院 火炮工程系， 石家莊 050003)

鄰域自適應(yīng)增量式PCA-LPP在齒輪箱故障診斷中的應(yīng)用

鄧士杰， 唐力偉， 張曉濤

(軍械工程學(xué)院 火炮工程系， 石家莊 050003)

針對流形學(xué)習(xí)算法的增量處理問題，提出一種鄰域自適應(yīng)增量式PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法，闡述了算法的基本原理以及增量樣本處理方法。對新增樣本的引入，首先根據(jù)已有樣本對協(xié)方差矩陣和相似矩陣進(jìn)行增量更新，而后結(jié)合已有樣本降維結(jié)果對新增樣本降維結(jié)果進(jìn)行估計(jì)，最后采用子空間迭代法實(shí)現(xiàn)新舊樣本降維結(jié)果的更新。采用齒輪箱故障信號特征向量對鄰域自適應(yīng)增量式PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明，鄰域自適應(yīng)增量式PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法降維后特征具有良好的故障分類識別效果。

增量式學(xué)習(xí)；自適應(yīng)；流形學(xué)習(xí)；故障診斷

流形學(xué)習(xí)是一類有效的非監(jiān)督數(shù)據(jù)降維方法[1-2]，能夠提取嵌入在高維數(shù)據(jù)中的低維特征，為后續(xù)的數(shù)據(jù)分類提供有效的特征降維處理支持。He等[3]在拉普拉斯映射的基礎(chǔ)上，提出一種典型的局部保持投影算法(Locality Preserving Projection， LPP)，其能夠在投影過程中保持?jǐn)?shù)據(jù)樣本局部流形結(jié)構(gòu)不變，并將其應(yīng)用于人臉識別研究。主元分析PCA在降維時(shí)具有考慮樣本全局結(jié)構(gòu)的特性，而LPP則具有保持?jǐn)?shù)據(jù)樣本局部流形結(jié)構(gòu)的特性，綜合PCA與LPP特點(diǎn)，可以實(shí)現(xiàn)在降維過程中數(shù)據(jù)樣本局部和全局結(jié)構(gòu)特征協(xié)同保持的目標(biāo)。文獻(xiàn)[4-6]進(jìn)行了PCA與LPP聯(lián)合的方法在圖像重構(gòu)、故障檢測及特征增強(qiáng)的相關(guān)研究，并且流形學(xué)習(xí)方滾動(dòng)軸承故障信號特征的降維識別中目前已有廣泛應(yīng)用[7]，為滾動(dòng)軸承故障診斷提供了新的處理思路和方法。

傳統(tǒng)的典型流形學(xué)習(xí)算法均是批量式處理，一旦有新樣本增加時(shí)，需要對新舊所有樣本全部進(jìn)行處理，這樣的處理方法往往計(jì)算量大，耗時(shí)耗力，并且已有樣本的降維結(jié)果得不到有效利用。近些年來，眾多學(xué)者對增量流形學(xué)習(xí)算法進(jìn)行了研究，主體上分為兩類。一是利用已有樣本的降維結(jié)果對新增樣本的降維結(jié)果進(jìn)行估計(jì)，如Jia等[8]基于拉普拉斯映射圖像識別所進(jìn)行的增量式學(xué)習(xí)研究，以及Chin等[9]針對最大方差投影MVU所進(jìn)行的增量式學(xué)習(xí)研究。二是在已有樣本降維結(jié)果的基礎(chǔ)上，引入新增樣本，采用迭代方法同時(shí)更新所有樣本的投影結(jié)果，從而得到最終的降維結(jié)果。如楊慶等[7]對增量式局部切空間排列算法及其在故障診斷中所作的研究，以及談超等[10]基于等角映射的多樣本增量流形學(xué)習(xí)算法及其在人臉識別中的研究。

文中針對PCA與LPP算法，引入鄰域自適應(yīng)構(gòu)造方法，對算法求解目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改寫，提出一種鄰域自適應(yīng)增量式PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法。該算法能夠利用已有樣本的降維結(jié)果，對新增樣本通過求解矩陣方程，得到投影結(jié)果的初始估計(jì)，而后采用Rayleigh-Ritz加速子空間迭代法，同步更新已有樣本和新增樣本的投影結(jié)果，最終得到所有樣本的低維投影結(jié)果。文中所提方法主要是在LPP算法基礎(chǔ)上引進(jìn)了迭代更新的處理方法，能夠得到準(zhǔn)確的降維結(jié)果，避免利用已有降維結(jié)果估計(jì)新樣本降維結(jié)果得到的估計(jì)值。最后針對齒輪箱故障聲發(fā)射信號特征向量對其進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明，文中方法降維處理后，故障識別率得到有效提升。

1 PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法

PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法結(jié)合PCA數(shù)據(jù)整體分布描述及LPP數(shù)據(jù)局部流形信息描述，構(gòu)造整體的投影矩陣求解方程。設(shè)在高維空間RD中存在數(shù)據(jù)集x=[x1,x2,…,xN]，共包含N個(gè)數(shù)據(jù)樣本。PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法的目標(biāo)是尋找投影變換矩陣W，將X轉(zhuǎn)換投影為空間Rd(d

PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法的整體目標(biāo)函數(shù)基于全局目標(biāo)函數(shù)Jg和局部目標(biāo)函數(shù)Jl構(gòu)造，從而使整體目標(biāo)函數(shù)求解的投影矩陣能夠同時(shí)兼顧PCA與LPP的特性。

1.1 全局目標(biāo)函數(shù)

全局目標(biāo)函數(shù)Jg即為PCA投影，能夠使投影后數(shù)據(jù)在低維空間保持原始樣本的大部分方差信息，其表達(dá)式如式(1)所示，式中C為協(xié)方差矩陣。

(1)

1.2 局部目標(biāo)函數(shù)

局部目標(biāo)函數(shù)Jl即為局部保持投影LPP，其能夠使投影前后數(shù)據(jù)局部近鄰結(jié)構(gòu)相似，其表達(dá)式如式(2)所示。

(2)

樣本間馬氏距離dij計(jì)算如式(3)所示，基于馬氏距離的樣本間相似系數(shù)αij計(jì)算及初始近鄰確定如式(4)所示。

(3)

(4)

得到樣本初始近鄰數(shù)后，基于高斯核密度估計(jì)[11](Gauss Kernel Density Estimation，GKDE)方法計(jì)算樣本點(diǎn)的總體分布概率密度。對樣本xi來講，其分布概率密度愈大，表明與其具有相似局部特征的樣本越多，該樣本的近鄰數(shù)應(yīng)該愈大。樣本xi的鄰域概率密度高斯核估計(jì)，如式(5)所示。

(5)

(6)

式中,floor表示數(shù)據(jù)向負(fù)無窮大方向取整。根據(jù)最終確定的近鄰數(shù)計(jì)算相似系數(shù)得到相似矩陣S。自適應(yīng)鄰域方法計(jì)算得到的各個(gè)樣本近鄰數(shù)一般不相等，因此相似矩陣S一般不是對稱矩陣，但拉普拉斯矩陣L是對稱矩陣，因?yàn)榫仃嘍′與S′是對稱矩陣，所以L=D′-S′是對稱矩陣。

1.3 整體目標(biāo)函數(shù)

結(jié)合全局目標(biāo)函數(shù)與局部目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)造整體目標(biāo)函數(shù)如式(7)所示。

(7)

將Y=WTX代入其中，可得式(8)，并根據(jù)式(8)直接求解投影結(jié)果Y。

(8)

整體目標(biāo)函數(shù)可以通過拉格朗日乘子法轉(zhuǎn)換為有約束最大值問題，如下

(9)

式(9)對Y求導(dǎo)并置零可得：

(10)

式(10)化簡后得到式(11)，投影矩陣W的求解實(shí)質(zhì)上是求解廣義特征值問題，通過求解前d個(gè)最大特征值對應(yīng)的特征向量，得到投影矩陣W。

(11)

根據(jù)鄰域自適應(yīng)構(gòu)造方法以及整體目標(biāo)函數(shù)，可以給出鄰域自適應(yīng)PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法的基本流程，如圖1所示。

圖1 鄰域自適應(yīng)PCA-LPP算法流程Fig.1 The flow of adaptive neighborhood PCA-LPP algorithm

2 增量式PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法

鄰域自適應(yīng)PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法是一種批量式數(shù)據(jù)處理方法，不具備增量處理能力。處理新增樣本時(shí)只能考慮所有樣本重新計(jì)算投影矩陣，原始樣本的投影結(jié)果不能得到有效利用，特別是在原始樣本數(shù)量較大的情況下，每次重新計(jì)算整體的特征向量時(shí)計(jì)算量大，效率低。基于對自適應(yīng)鄰域PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法的分析，考慮對大量原始樣本已有處理結(jié)果的應(yīng)用，提出一種具有批量處理能力的增量式鄰域自適應(yīng)PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法。

2.1 相關(guān)參量矩陣更新

在原始分析數(shù)據(jù)集X的基礎(chǔ)上，假設(shè)新增L個(gè)樣本，新舊樣本構(gòu)成當(dāng)前數(shù)據(jù)集，則此時(shí)的數(shù)據(jù)集Xnew=[x1,x2,…,xN,…,xN+L]，共N+L個(gè)樣本。加入新樣本之后，算法整體目標(biāo)函數(shù)計(jì)算過程中的參量均發(fā)生變化，如樣本協(xié)方差矩陣C，目標(biāo)函數(shù)中的相似矩陣S以及對角矩陣D。

增加新樣本后首先需要更新整體協(xié)方差矩陣，協(xié)方差矩陣增量更新方法如式12所示[12]。

(12)

(13)

在增量式整體目標(biāo)函數(shù)中，原有批量式處理方法求解計(jì)算量大，且不能有效利用已有的樣本降維結(jié)果。下面根據(jù)整體目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，首先給出樣本降維后的估計(jì)值，而后通過迭代法得到精確結(jié)果，這樣處理能夠有效利用已有數(shù)據(jù)的降維結(jié)果，降低運(yùn)算量，并且在處理過程中同步更新已有樣本的降維結(jié)果，實(shí)現(xiàn)增量式處理。

2.2 新樣本嵌入坐標(biāo)估計(jì)

(14)

原始數(shù)據(jù)集X∈RD投影到低維空間的結(jié)果為Y0∈Rd，假設(shè)增加新樣本后的數(shù)據(jù)集Xnew∈RD投影到低維空間的結(jié)果為Ynew∈Rd，由于數(shù)據(jù)集樣本數(shù)前后發(fā)生變化，可知Y0的樣本數(shù)為N，而Ynew的樣本數(shù)為N+L。

為了給出Ynew一個(gè)合理的估計(jì)值，按照原始樣本數(shù)和新增樣本數(shù)對式(14)進(jìn)行分塊構(gòu)造，如式(15)所示。

(15)

將F=DT代入式(15)并展開可以得到式(16)。

(16)

上式對Y1求導(dǎo)并置零可得式(17)。

(17)

通過求解矩陣方程可以得到Y(jié)1的初始估計(jì)值，從而結(jié)合Y0組成Ynew的估計(jì)值。

2.3 投影結(jié)果迭代更新

式(14)中，Ynew的求解方程依然可以采用拉格朗日乘子法轉(zhuǎn)換為有約束最大值問題，而后求導(dǎo)置零，從而可得式(18)。

(18)

從上式中可知，Ynew實(shí)際上是一個(gè)廣義特征值問題，新樣本加入后的特征值求解則是一個(gè)矩陣增量特征值問題。

采用Rayleigh-Ritz加速子空間迭代法，基于Ynew的估計(jì)值[Y0,Y1]，通過迭代運(yùn)算實(shí)現(xiàn)新舊樣本投影結(jié)果的同時(shí)更新，Rayleigh-Ritz加速子空間迭代法計(jì)算流程如下。

(3) fori=1,2，……，k

end

在迭代法計(jì)算過程中，步驟3.3需要求解一個(gè)Rd×d的廣義特征值分解問題，由于d較小，因此特征值分解的計(jì)算量不大。經(jīng)過迭代收斂后，可以實(shí)現(xiàn)投影結(jié)果中Y0和Y1的同時(shí)更新，從而得到在新鄰域關(guān)系中的數(shù)據(jù)降維結(jié)果。根據(jù)前述算法的相關(guān)理論分析，可以得到增量式鄰域自適應(yīng)PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法流程如圖2所示。

圖2 增量式鄰域自適應(yīng)PCA-LPP算法流程Fig.2 Adaptive neighborhood incremental PCA-LPP algorithm

3 齒輪箱故障信號降維及識別分類

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及特征提取

以二級減速箱實(shí)驗(yàn)平臺為實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證對象，輸入軸齒輪齒數(shù)z1=25，中間軸大齒輪齒數(shù)z2=50，中間軸小齒輪齒數(shù)z3=19，輸出軸齒輪齒數(shù)z4=81，中間軸滾動(dòng)軸承型號為6206。采用線切割在中間軸齒數(shù)為50的齒輪以及軸承內(nèi)外圈加工細(xì)小裂紋作為故障，線切割裂紋深度為1 mm，寬度為0.5 mm。

實(shí)驗(yàn)中振動(dòng)加速度傳感器型號為B&K4508，固定在齒輪箱故障軸承所在軸承座上，信號采集時(shí)，采樣頻率10 kHz，實(shí)驗(yàn)中輸入軸轉(zhuǎn)速1 500 r/min。

實(shí)驗(yàn)中共設(shè)置四種故障模式，分別為正常狀態(tài)，齒根裂紋故障，軸承內(nèi)圈裂紋故障，軸承外圈裂紋故障。實(shí)驗(yàn)中每類故障狀態(tài)采集100個(gè)樣本，四類故障類型共400個(gè)樣本，每個(gè)樣本信號時(shí)間長度為1 s。

針對實(shí)驗(yàn)信號，提取10個(gè)時(shí)域特征參數(shù)和10個(gè)頻域特征參數(shù)構(gòu)建20維故障特征向量，如表1所示。通過以上征參數(shù)的組合來全面準(zhǔn)確地描述旋轉(zhuǎn)機(jī)械不同部位、不同類型、不同程度故障的特征信息。其中，xi是時(shí)域信號序列，n=1,2,…,N，N為樣本數(shù)量。sk是信號的頻譜，k=1,2,…,K，K為譜線數(shù)，xi是第k條譜線的頻率值。

表1 故障樣本的特征參數(shù)

3.2 故障特征的降維識別

采用鄰域自適應(yīng)增量式PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法對故障特征進(jìn)行降維處理。并結(jié)合支持向量機(jī)對故障特征進(jìn)行分類識別，采用徑向基核函數(shù)支持向量機(jī)，基于交叉驗(yàn)證方法獲得核函數(shù)參數(shù)γ=2.7，懲罰因子c=1.2。

采用其中60%作為訓(xùn)練樣本，剩余40%作為測試樣本，給出降維數(shù)和故障分類識別率的關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 故障分類識別率曲線Fig.2 The curve of fault identification rate

從圖2中的曲線可以看出，在降維數(shù)為16時(shí)，故障分類識別率最高，并且隨著降維數(shù)的增加，故障識別率快速增大，且在降維數(shù)大于13后，故障識別率處于較為平穩(wěn)的階段。

3.3 不同降維方法識別性能的對比

采用PCA和LPP方法和文中的鄰域自適應(yīng)PCA-LPP方法的性能進(jìn)行對比，同時(shí)在識別過結(jié)果中加入原始故障特征的識別情況。對比結(jié)果如表2所示。其中PCA和LPP及文中的鄰域自適應(yīng)增量式PCA-LPP方法的降維數(shù)均選為16。其中LPP方法采用k近鄰方法選擇鄰域，經(jīng)過多次驗(yàn)證設(shè)置k=9時(shí)故障識別率最高，表中故障識別率為測試樣本中識別正確的個(gè)數(shù)與測試樣本總數(shù)的比值。

表2 不同方法識別率對比

從表2中的結(jié)果可以看到，采用鄰域自適應(yīng)PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法進(jìn)行特征降維后，故障特征的識別效果最好，其識別率高于PCA和LPP方法降維特征及原始故障在特征的故障分類識別效果。這主要是由于PCA和LPP的降維過程僅是單一的強(qiáng)調(diào)故障特征的整體結(jié)構(gòu)方差和局部流形結(jié)構(gòu)，原始的高維故障特征則存在不同故障特征之間的冗余信息，而PCA-LPP流形學(xué)習(xí)方法則能同時(shí)兼顧整體結(jié)構(gòu)方差和局部流形結(jié)構(gòu)。故此其降維后的故障特征能更好的反映不同故障之間的差異，獲得更好的故障分類識別情況。

4 結(jié) 論

文中提出一種鄰域自適應(yīng)增量式PCA-LPP算法，該方法能夠利用已有觀測樣本得到的協(xié)方差矩陣C和相似矩陣S以及新的低維投影結(jié)果，建立增量數(shù)據(jù)樣本與其低維投影結(jié)果之間的關(guān)系，并通過迭代方法更新所有樣本的低維投影結(jié)果。基于齒輪箱預(yù)置故障信號特征的處理實(shí)例表明，文中所提方法具有良好的故障特征降維效果，其降維后的特征故障分類識別率明高于PCA、LPP及原始故障特的分類識別率，說明PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法能夠兼顧特征樣本的整體方法差和局部流形特征，并能有效降低原始故障特征所存在的冗余信息。

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Gear fault diagnosis based on an adaptive neighborhood incremental PCA-LPP manifold learning algorithm

DENG Shijie， TANG Liwei， ZHANG Xiaotao

(First Department, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003， China)

Aiming at the incremental processing in manifold learning algorithms, an adaptive neighborhood incremental PCA-LPP manifold learning algorithm was presented. The incremental learning principle of the algorithm was introduced. For introducing the incremental sample data, the adjacency and covariance matrices were updated according to the incremental by using the existing sample. Then, the dimension reduction result of the incremental sample was estimated based on the dimension reduction result of the existing sample and updated matrix. Finally, the dimension reduction results of incremental and existing samples were updated by using the subspace iteration method. The adaptive neighborhood incremental PCA-LPP manifold learning algorithm was applied in the processing of gearbox fault signals. The dimension reduction results by the incremental learning are of very small error compared with the batch learning. The spatial aggregation of incremental samples is basically stable, and the fault identification rate is improved.

incremental learning; adaptive; manifold learning; fault diagnosis

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50775219);軍隊(duì)科研資助項(xiàng)目

2016-06-15 修改稿收到日期： 2016-09-23

鄧士杰 男，博士生，講師，1983年生

唐力偉 男，教授，博士生導(dǎo)師，1961年生

TH165；TN911.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.14.017