基于功率流的瞬態響應分析及能量波的可視化研究

向 玲， 鄭水清， 高雪媛

(華北電力大學(保定) 機械工程系，河北 保定 071003)

基于功率流的瞬態響應分析及能量波的可視化研究

向 玲， 鄭水清， 高雪媛

(華北電力大學(保定) 機械工程系，河北 保定 071003)

以鋼球和鋼塊的碰撞作為模型，基于有限元的功率流理論研究了碰撞的瞬態響應。對瞬態響應實現了鋼球和鋼塊碰撞功率流云圖及矢量圖的可視化，并繪制出了碰撞瞬態響應的時間歷程功率流云圖及功率流矢量圖，從而快速而準確地獲得結構體能量在傳遞過程中任一時刻的大小和方向；提出了彈性體內部能量波的概念，并通過與經典的應力波分析比較說明：基于能量波的功率流云圖比應力云圖更明顯的顯示出碰撞過程中的無旋波和等容波，即能量波比應力波更能表現出結構內部的波動性。最后分析了鋼球和鋼塊碰撞時的接觸力及碰撞過程中的能量守恒。

有限元；功率流；瞬態響應；能量波；可視化

當結構受到動載荷作用時，其引起的擾動將以波的形式在結構中傳播[1]。如果載荷是固定頻率的持續載荷，那么波在結構中許多次反射與散射傳播后，最終波與波相互疊加形成結構的振動模態，此時關心的是載荷的穩態響應。當載荷是持續時間短的沖擊載荷，波在結構中不能形成固定的振動模態，那么此時關心沖擊載荷作用的瞬態響應。

結構功率流包含了力與速度的信息，它不僅包含了瞬時能量的大小，還包含了能量流動的方向。在利用功率流研究振動時它還可以反映出力與速度之間的相位信息。因此研究結構功率流對結構內部能量傳遞過程有重要意義。

研究結構功率流的方法有很多，包括導納功率流方法 (MPA)[2]、波動方法(Wave Method)[3]、統計能量法 (SEA)[4]、結構聲強法(SAI)[5]及功率流有限元法(PFFEM)[6]等。目前為止，眾多的研究人員用這些方法對結構功率流進行了大量的研究，Gavric等[7]基于有限元的思想，推導了梁、平板以及殼體結構中的結構聲強 (功率流密度) 公式，并給出了簡支平板結構的結構聲強矢量圖。游進等[8]將單頻激勵的能量流方程推廣到隨機激勵情形。

基于有限元的功率流可視化研究是指在利用數值分析軟件、有限元軟件等科學計算軟件的基礎上使功率流以矢量圖、云圖等圖形或動畫的形式顯示出來。功率流可視化可以更加直觀的反應出結構內部能量的傳遞過程。在功率流可視化方面也有不少學者做出了研究，朱翔等[9]對裂紋損傷結構的功率流進行可視化研究，計算得到了裂紋結構在不同裂紋參數和不同激勵頻率下的位移響應矢量圖、聲強矢量圖和流線圖。張雪冰等[10]對變壓器油箱的振動功率流進行了研究，并繪制了振動功率流幅值云圖。

關于功率流的研究雖然很多，但大部分是關于振動的穩態響應，而瞬態響應的功率流研究相對較少。Liu等[11]研究了低速碰撞下的鋼板功率流瞬態響應，給出了鋼板在受到低速鋼球碰撞過程中的能量流向矢量圖。Zong等[12]利用結構聲強理論研究了人體頭骨在受到撞擊時的瞬態響應。給出了頭骨在受到撞擊之后的能量大小分布及流向。Halkyard等[13]基于平面波的運動方程提出了一種時域上彎曲波功率流的近似計算方法。

本文利用有限元軟件ABAQUS進行建模，以鋼球和鋼塊的碰撞為模型，研究了瞬態響應的功率流可視化方法。提出了能量波的概念，利用ABAQUS二次開發計算并可視化了能量波，并把能量波和應力波做了對比。

1 理論基礎

1.1 固體中應力波理論

當靜力平衡狀態下的彈性體受到載荷作用時，并不是在彈性體的所有各部分都立即引起位移、形變和應力。在作用開始時，距荷載作用處較遠的部分仍保持不受干擾。在作用開始后，荷載所引起的位移、形變和應力，就以波動的形式用有限大的速度向別處傳播。在以往的論文及書籍中稱這些波為應力波，應力波的傳播速度與介質密切相關。

當有動力在此彈性體上作用時，則在此彈性體內會產生兩種不同的波，分別為無旋波和等容波，其波動方程如下：

無旋波波動方程

(1)

(2)

等容波的波動方程

(3)

(4)

式中：c1、c2分別為無旋波和等容波在彈性體中的傳播速度；i=1、2、3代表三個運動方向。

無旋波和等容波是彈性體內彈性波的兩種基本形式。波動方程式(1)和式(3)是兩個獨立的方程，表明在彈性體中存在著兩種獨立的擾動形式，即兩種相互獨立的彈性波，并且它們的傳播速度不同，由于：

(5)

因此在彈性體內無旋波的波速大于等容波的波速。

1.2 功率流理論

功率流是一個時間相關的矢量，它表示的是結構的瞬時能量，也叫能量流。單位面積上的功率流稱為瞬時結構聲強。

三維結構聲強公式的推導如下：

結構的運動微分方程

(6)

(7)

S為位移矢量

S={u,v,w}

(8)

σ為應力矩陣

(9)

A表示成

(10)

設結構體的單位體積能量為

e=ev+ep

(11)

式中：ev為動能和組成

(12)

ep為勢能

(13)

不難證明出

(14)

因此,式(7)可以寫成

(15)

式(15)為能量守恒式,令：

(16)

式中：I={Ix,Iy,Iz}稱為功率流矢量,表示結構體在振動過程中能量的分布大小及方向。

將式(8)、式(9)代入式(16)得出沿三個坐標方向的分量分別為:

(17)

上式即為彈性體內部瞬時功率流公式。

使用同樣的方法可以推出二維瞬時功率流公式為：

(18)

1.3 矢量場可視化

科學計算可視化(Visualization in Scientific Computing)指的是利用計算機圖形學和圖像處理技術，將工程測量數據、科學計算過程中產生的數據及計算結果轉換為圖形圖像在屏幕上顯示出來，并進行交互處理的理論、方法和技術[14],又稱為科學可視化,是屬于可視化技術中的一門綜合學科。

矢量場在科學計算和工程分析中扮演著非常重要的角色,矢量場數據可視化一般都至少要包括三個主要步驟:矢量數據的預處理、矢量數據的映射以及矢量場的繪制和顯示[15]。

矢量場的可視化可以繪制靜態的矢量圖，也可以繪制出由多幀組成的矢量場動畫。相比靜態的矢量圖，矢量場動畫更加的直觀，而且能夠更多的表達出矢量場的信息。

2 結構體內的能量波

而對任一彈性媒質，因為波在彈性媒質中傳播時，各質點在其平衡位置附近振動，從而使彈性媒質具有振動動能；又因為振動造成了各質點之間的距離發生改變，媒質發生形變，從而使之具有形變勢能。振動動能與形變勢能之和稱此媒質中彈性波的能量。

根據結構體內功率流的公式推導可以看出，功率流所反映的正是彈性波所攜帶的能量。當結構體受到載荷激勵時，在結構體內部就會產生彈性波。以應力和應變擾動的傳播形式反映的彈性波稱為應力波，同樣以能量擾動的傳播形式反映的彈性波稱為能量波。應力波表現為結構體內質點應力、應變狀態的變化，而能量波表現為質點應力、應變及速度的變化，能量波反映的是質點動能和勢能的總和。由于以功率流理論所表達出來的能量波是一種瞬時能量，所以能量波也可稱為功率波。

3 鋼球撞擊鋼塊的瞬態響應分析

3.1 鋼球撞擊鋼塊的模型

取一個鋼球和一個鋼塊相碰作為研究模型，見圖1。鋼球直徑為10 mm，以1 000 m/s的速度撞向一個邊長為100 mm的方形鋼塊。鋼塊右端固定在墻上，忽略重力的影響。

由于主要觀察鋼塊內部的能量變化，所以假設鋼球為剛性球，即在碰撞過程中不發生變形。鋼塊的密度為7 800 kg/m3,彈性模量2.1×1011Pa，泊松比0.3。

圖1 鋼球和鋼塊碰撞模型Fig.1 The collision model of steel ball and steel block

使用有限元軟件建立鋼球和鋼塊碰撞模型，對碰撞過程進行瞬態動力學分析。由于能量在結構內部傳遞過程中會受到黏性阻尼的影響，黏性阻尼越大，總的動能和內能衰減的越快。在建模過程中設置線性粘性阻尼系數為0.06。由于風阻尼、干阻尼等其它阻尼對鋼塊結構體內能量的傳遞過程的影響不大，因此論文中沒有考慮。

3.2 碰撞的瞬態響應分析

3.2.1 碰撞過程中的應力波及功率流

取模型中和鋼球速度方向平行的過鋼球圓心的豎直剖面來進行碰撞過程分析。圖2～圖5為鋼球和鋼塊碰撞2 μs、10 μs、17 μs、21 μs時刻響應特征圖。

圖2 2 μs時刻響應特征圖Fig.2 Response characteristics of 2 μs moment

圖3 10 μs時刻響應特征圖Fig.3 Response characteristics of 10 μs moment

圖4 17 μs時刻響應特征圖Fig.4 Response characteristics of 17 μs moment

圖5 21 μs時刻響應特征圖Fig.5 Response characteristics of 21 μs moment

從圖3可知，在10 μs時刻同時產生了一前一后的兩個波。將圖3和圖4相對比可知，這兩個波的波速不一樣。前一個波的速度大于后一個波的波速，根據對比前面理論分析可知，前一個波為無旋波，后一個波為等容波。由式(5)計算得

(19)

由此可知，無旋波的波速是等容波的1.871倍，這和圖中所顯示的差異基本相同。

從功率流矢量圖可以清楚的表示出下一刻能量的傳遞方向，當能量發生反射時，功率流矢量的方向會隨之發生改變(如圖5)，結合功率流矢量圖和功率流云圖可以快速而準確的得出結構體中的能量在傳遞過程中任一時刻的大小和方向。

從應力云圖和功率流云圖相比較可知，雖然是在同一時刻，但是兩個云圖顯示應力波和能量波有所不同。因為應力云圖顯示的只是在鋼塊內部應力的大小，由式(13)可知，應力的大小只能反映質點勢能的大小，而功率流云圖顯示的是應變能和動能大小的總和。說明在功率流云圖上顯示的波是一種能量波。因此得出：應力波代表著彈性波所攜帶應力的大小，而能量波代表著彈性波所攜帶能量的大小。

通過對比應力云圖、功率流矢量圖和功率流云圖可知，功率流云圖可以比應力云圖更加清楚的顯示出無旋波和等容波的波峰的位置，并且從功率流矢量圖可以清楚的表現出無旋波和等容波下一時刻的傳遞方向。把功率流云圖和功率流矢量圖統稱為功率流圖，在功率流圖上所表現的彈性波為能量波。則由以上分析可得，在有限元分析過程中能量波的傳播形式比應力波的傳播形式更能反映的彈性波的波動性質。

3.2.2 能量守恒

在ABAQUS的動力學分析過程中，能量守恒是評價分析結果的一個重要指標[16]。在本次動力學仿真過程中，存在變化的能量有動能(ALLKE)、應變能(ALLSE)及由黏性阻尼產生的黏性耗散能(ALLVD)。其各自的能量變化，如圖4～圖6所示。

圖6所示的是鋼球和鋼塊作為整體能量變化的總和，而圖7和圖8中分別是鋼塊和鋼球能量的變化。從圖6可知，在碰撞過程中的總能量(ETOTAL)和基本保持沒有發生變動，說明滿足能量守恒條件。由于鋼球是剛性體所以在鋼球內部不存在應變能。在整個過程中能量的變化滿足以下能量守恒關系：

ETOTAL=ALLKE+ALLSE+ALLVD

(20)

圖6 在碰撞過程中整體能量的變化Fig.6 The total energy change in the process of collision

從圖6和圖7可知，在碰撞過程中，鋼塊內部的動能和應變能是由鋼球的動能傳遞的。所以鋼球在碰撞初始和碰撞結束時的動能是不同的。速度也是不同的。結合“3.2.1”分析可知，鋼球傳遞給鋼塊的能量在鋼塊內部是以能量波的形式在鋼塊內部傳遞并耗散。

從圖6中還可知，能量在鋼塊內部傳遞過程中，鋼塊內部的應變能和動能在不發生反射的情況下基本上是保持平穩下降的，但是當存在能量波的反射時(圖6中17μs時刻)，應變能就會和動能相互的轉換，在固定端反射時應變能變大，動能變小。相應的在自由端反射時動能變大而應變能變小。

圖7 在碰撞過程中鋼塊能量的變化Fig.7 The energy change of the steel block in the process of collision

圖8 在碰撞過程中鋼球能量的變化Fig.8 The energy change of the steel ball in the process of collision

3.2.3 碰撞力分析

在鋼球和鋼塊碰撞過程中，碰撞的接觸力大小如圖9所示。

圖9 碰撞過程中的接觸力Fig.9 The contact force in the process of collision

從圖9可知，碰撞是在7μs時鋼球和鋼塊開始分離。從接觸力曲線的形狀可以看出，在碰撞過程中的接觸力并非是理想的半個正弦。結合能量守恒及碰撞過程分析可總結出以下兩個原因：①由于在碰撞過程中，鋼球和鋼塊的接觸面積存在變化。鋼球的壓進階段接觸面積是越來越大，而鋼球的反彈階段接觸面積越來越小。②由于在碰撞過程中存在能量的傳遞(見圖6)。鋼球在碰撞初始和碰撞結束的速度不同(見圖8)，這導致了鋼球的壓進階段和反彈階段的加速度的不同，從而導致了接觸力的不同。

4 結 論

(1)驗證了實體內部的同時存在無旋波和等容波，并且說明了兩個波的波速不相同。無旋波的波速大于等容波的速度。

(2)利用有限元軟件開發并可視化了功率流的矢量圖及云圖，并生成碰撞的瞬態響應的功率流矢量圖動畫及功率流云圖動畫。這些動畫可以直觀的反映出結構內部能量波的傳遞及反射過程。

(3)給出了能量波的概念，對比了能量波和應力波。能量波不僅包含有動能，還包含有應變能。并且在有限元分析過程中能量波的傳播形式比應力波的傳播形式更能反映的彈性波的波動性質。

(4)分析了鋼球和鋼塊碰撞時的接觸力及碰撞過程中的能量守恒。在碰撞過程中接觸力并不是半個正弦曲線，而且在碰撞過程中鋼球的一部分動能會傳遞給鋼塊，轉化成鋼塊內部質點的動能及應變能，并且這些能量在鋼塊內部以能量波的形式傳播。

(5)能量波和應力波一樣在傳遞過程中也會發生反射，散射及波與波疊加等特征現象。這些需要后期的繼續研究。

[1] GRAFF K F. Wave motion in elastic solids[M]. Oxford: Claremdon Press, 1975.

[2] CUSCHIERI J M. Structural power-flow analysis using a mobility approach of an L-shaped plate [J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1990,87(3):1159-1165.

[3] KESSISSOGLOU N J. Power transmission in L-shaped plates including flexural and in-plane vibration [J]. Joumal of the Acoustical Society of America, 2004, 115(3): 1157-1169.

[4] LYON R H. Statistical energy analysis of dynamical systems：theory and application[J] . Annals of Probability an Official Journal of the Institute of Mathematical Statistics,1975,28(9):430.

[5] WILLIAMS E G. A technique for measurement of structure-bome intensity in plates[J]. Joumal of the Acoustical Society of America，1985，78(6):2061-2068.

[6] NEFSKE D J, SUNG S H. Power flow finite element analysis of dynamic system: Basic theory and application to beams [J] .Transactions of the ASME， 1989, 111:94-100.

[7] GAVRIC L, PAVIC G. Finite element method forcomputation of structural intensity by the normal mode approach[J]. Journal of Sound and Vibration, 1993, 164(1)：29-43.

[8] 游進，李鴻光，孟光. 耦合板結構隨機能量有限元分析[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(11): 43-46. YOU Jin, LI Hongguang, MENG Guang. Random energy finite element analysis of coupled plate structures[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(11): 43-46.

[9] 朱翔，李天勻. 基于有限元的損傷結構功率流可視化研究[J]. 機械工程學報, 2009, 45(2): 132-137. ZHU Xiang, LI Tianyun. Visualization research on the power flow characteristics of damaged structures based on the finite element method[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009, 45(2): 132-137.

[10] 張雪冰，饒柱石，塔娜，等. 變壓器油箱振動功率流研究[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(5): 188-191. ZHANG Xuebing, RAO Zhushi, TA Na, et al. Power flow of transformer tank[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(5): 188-191.

[11] LIU Z S, LEE H P, LU C. Structural intensity study of plates under low-velocity impact[J]. International Journal of Impact Engineering , 2005, 31(8): 957-975.

[12] ZONG Z, LEE H P, LU C. A three-dimensional human head finite element model and power flow in a human head subject to impact loading[J]. Journal of Biomechanics , 2006, 39(2): 284-292.

[13] HALKYARD C R, MASSON P. Time-domain flexural wave intensity estimation in orthotropic Kirchhoff plates[J]. Journal of Sound and Vibration, 2016, 368(28): 55-70.

[15] POST F, VON WALSUM T. Fluid flow Visualization[C]∥ Hager H, Muller H, Nielson G M.(Eds)Focus on Scientific Visualization.Spring-Verlag, 1993.

[16] 朱躍峰. 基于ABAQUS的顯式動力學分析方法研究[J]. 機械設計與制造, 2015(3):107-109. ZHU Yuefeng. Research on analysis methods of explicit dynamics based on ABAQUS[J]. Machinery Design & Manufacture, 2015(3):107-109.

Transient response analysis based on the power flow and the visualization of energy wave

XIANG Ling, ZHENG Shuiqing, GAO Xueyuan

(Mechanical Engineering Department, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

Study the transient response due to a collision based on the theory of power flow finite element method with the collision model consisting of a steel ball and a steel block. Realize the visualization of power nephogram and power vectorgraph for the transient response . And draw out the power nephogram animation and vectorgraph animation for the transient response in the process of collision to obtain the magnitude and direction of energy transmission quickly and accurately at any moment in the structure body. Put forward a concept of energy wave in the elastomer. Through comparing with the stress wave, it is verified that the power nephogram is more obvious than the stress nephogram in showing the irrotational wave and shear wave in the process of collision. That is to say, the energy wave is better than the stress wave in showing the volatility in the elastomer. Analyse the contact force and energy conservation in the process of collision in the end.

finite element;power flow;transient response;energy wave;visualization

國家自然科學基金(51475164；51675178)

2016-03-29 修改稿收到日期： 2016-05-19

向玲 女，博士，教授，1971年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.14.023