帶錐斗筒倉中稻谷的密度與應力分布模型

杜小翠 嚴曉婕 程緒鐸 高夢瑤 馮家暢

(南京財經大學食品科學與工程學院；江蘇省現代糧食流通與安全協同創新中心，南京 210046)

帶錐斗筒倉中稻谷的密度與應力分布模型

杜小翠 嚴曉婕 程緒鐸 高夢瑤 馮家暢

(南京財經大學食品科學與工程學院；江蘇省現代糧食流通與安全協同創新中心，南京 210046)

采用LHT-1糧食回彈模量儀測定稻谷堆的壓縮密度，建立帶錐斗筒倉中稻谷堆的密度、應力與糧層深度關系的微分方程組，用數值方法計算帶錐斗筒倉中稻谷密度、應力與糧層深度關系，由積分法計算出筒倉中稻谷的儲藏總質量。試驗結果表明，淮稻5號(含水率為10.38%～18.30% w.b.)的密度隨豎直應力(0.495～245.892 kPa)增大而增大(582.772～696.593 kg/m3)。模型計算結果表明，在帶錐斗筒倉的筒體部分，稻谷堆密度隨著糧層深度的增加而增大；到錐斗部分，稻谷堆密度隨著糧層深度的增加而逐漸減小。在帶錐斗筒倉的筒體部分，稻谷堆的豎直應力隨著糧層深度的增加而增大；在錐斗部分，稻谷堆的豎直應力則隨著糧層深度的增加而減小。在帶錐斗筒倉中的筒體部分，稻谷堆的側向應力隨著糧層深度的增大而增大；在筒體與錐斗結合處，稻谷堆的側向應力突然增加；到了錐斗部分，稻谷堆的側向應力隨著糧層深度的增大先稍增大再逐漸減小。

帶錐斗筒倉 稻谷 密度 豎直應力 側向應力

稻谷是我國單產最高、總產最多的糧食作物，在國民經濟和國家糧食安全中具有重要的地位和作用[1]。筒倉是儲糧倉型中機械化程度最高的一種倉型，被廣泛應用于稻谷的儲藏[2-3]。稻谷儲藏在筒倉中，會受到自重、內摩擦力以及倉壁的支持力，稻谷堆的內部由于這些力的作用產生應力，從而產生彈性和塑性形變，稻谷堆的體積縮小，密度則增大，隨著糧層深度的增加，稻谷的密度增大[4-5]。準確地計算出筒倉中密度的分布就能準確的計算筒倉中稻谷的總質量。目前我國糧食儲藏質量檢查方法是體積密度法[6]。體積密度法是將稻谷堆的體積與平均密度相乘來計算稻谷質量，稻谷堆的平均密度為常規測定的密度乘以修正系數，修正系數是憑經驗給出的，這個方法計算的糧倉中稻谷質量誤差大。儲藏在筒倉中的稻谷壓應力隨著糧層深度的增加而增大。筒倉中稻谷堆的壓應力隨糧層深度的分布值是糧倉結構設計所需要的重要參數。

Mahmoud[7]使用一個非線性雙曲線型本構方程，建立了有限元模型，估算了由彈性波紋板構成的圓筒倉倉壁靜態壓力。Zhang等[8]利用Lade模型計算了糧倉的靜態倉壁壓力，并研究了溫度對倉壁側壓力的影響。Ruckenbrod等[9]和Ragneau等[10]使用不同的物料本構方程通過有限元方法估算了圓筒倉中物料的靜態壓力和卸料動壓力。Goode等[11]通過有限元方法估算了薄壁矩形截面筒倉的內小麥的靜壓力。上述對筒倉中物料壓應力的研究都是將物料密度視為常量，沒有考慮密度的變化對應力分布的影響。Loewer等[12]觀測了小麥的堆密度隨壓力和水分的變化值。Thompson 等[13]試驗測定了小麥的堆密度隨壓力和水分的變化值并給出了預測密度的經驗方程。Moya等[14]使用固結儀測定幾種谷物的孔隙率與密度與豎直壓力的關系。這些研究只是在小容器中測定密度與壓力的關系。陳德民等[15]利用壓力傳感器網絡進行糧食儲藏質量在線監測，給出了壓力傳感器外圍電路的硬件設計，并根據我國糧倉特點對傳感器進行了布置，利用VC++6.0開發了系統管理軟件。在筒壁和底部安裝力傳感器，由倉底與倉壁的壓力分布推出糧倉儲糧總質量，這個方法本質上是由倉壁與倉底壓力分布估算平均密度，再算出總質量。這個方法測算的誤差大、成本大，難以推廣。到目前為止，筒倉中糧堆的密度分布和裝糧質量的理論研究成果鮮見報導，也鮮有有效的測量方法。

本試驗采用LHT-1糧食回彈模量儀來測定稻谷堆在不同壓應力下的壓縮密度，用試驗數據擬合壓縮密度與壓應力的關系模型，建立筒倉中稻谷堆的密度、壓應力與糧層深度關系的微分方程組，用數值方法計算得到筒倉中稻谷密度隨糧層深度變化關系，從而由積分法計算出筒倉中稻谷的儲藏總質量。同時，用數值方法計算得到筒倉中隨糧層深度變化的稻谷堆的豎直應力、側向應力的分布值。

1 稻谷堆密度與最大主應力關系的試驗測定

稻谷儲藏在筒倉的圓筒中，處于主動應力狀態，最大主應力是豎直方向；稻谷儲藏在筒倉的錐斗中，處于被動應力狀態，最大主應力垂直錐斗壁。密度與最大主應力的關系(ρ=F(pmix))通過試驗來確定。

1.1 材料與方法

1.1.1 試驗材料

淮稻5號稻谷，原始水分為15.23%(濕基)，2014年產于江蘇淮安。2014年11至12月進行壓縮試驗。

試驗時，將其水分調節為10.38%、12.38%、13.77%、15.23%、16.99%、18.30% w.b.。稻谷籽粒的最大直徑、中直徑、最小直徑的平均值分別為7.5、3.6、2.4 mm，對應的標準差分別為0.2、0.1、0.1 mm。(隨機取樣100粒稻谷粒，用游標卡尺測得其3個粒徑，精確到0.1 mm，最后求其平均值)

1.1.2 試驗儀器

LHT-1型糧食回彈模量測定儀：南京土壤儀器廠有限公司；HG202-2(2A/2AD)電熱干燥箱：南京盈鑫實驗儀器有限公司；AL204型分析天平、JSFD-粉碎機：上海嘉定糧油儀器有限公司。

1.1.3 試驗原理

將稻谷裝入LHT-1糧食回彈模量儀的圓筒中，頂部加載荷，圓筒中的稻谷處于主動應力狀態，稻谷在圓筒中產生限側變形壓縮[16]，這種應力狀態與變形狀態與筒倉中的稻谷應力狀態與變形狀態相似。因此，可通過對回彈模量儀的圓筒中的糧堆施加不同的頂部壓力來模擬筒倉中不同深度的稻谷的應力狀態與應變狀態。筒壁對稻谷產生向上的摩擦力，裝樣筒內各糧層所受到的豎直應力與側向應力是不同的，糧層深度增加，豎直應力與側向應力減小。所以，本節用圓筒中稻谷的平均豎直應力與側向應力表示筒倉中某一糧層的豎直應力與側向應力。

采用微元法對裝樣筒內糧堆樣品進行受力分析，假設裝樣筒內半徑為Rc，樣品高度為Hc，取距離糧面深度為y，高度為dy的微元體進行受力分析[5]，微元體在豎直方向的受力分析見圖1：

圖1 回彈模量儀裝樣筒中糧堆微元層受力圖

稻谷在裝樣筒內受壓時處于主動應力狀態，根據Rankine理論[17]和Janssen理論[18]，側向應力與豎直應力的比為：

(1)

式中：ph1為圓筒中糧堆所受側向應力/kPa；pv1為圓筒中糧堆所受豎直應力/kPa；φ為稻谷內摩擦角/°。

糧堆微元體在豎直方向上受力平衡，可得平衡方程為：

(2)

式中：ρ為稻谷密度/kg/m3；μc為稻谷與裝樣筒筒壁的摩擦系數；Ac為裝樣筒的橫截面積/m2。

由式(2)，結合式(1)推導出下面的微分方程：

(3)

對式(3)進行積分，得：

(4)

(5)

式中：p0為糧堆頂部壓應力/kPa；Hc為壓縮后圓筒中糧堆高度/m。

在裝入稻谷的圓筒頂部逐級加載，測定每次加載后稻谷樣品的高度，計算出對應的稻谷密度，并根據式(5)計算出對應的豎直應力，即可得到稻谷樣品密度與其所受豎直應力(最大主應力)的關系：

ρ=F(pmax)

(6)

1.1.4 試驗方法

將回彈模量儀放在實驗室中，室內溫度設置為20 ℃。將樣品勻速倒入裝樣筒中，并將其表面鋪平，放上傳壓板，保證傳壓板上表面與裝樣筒上端齊平。保持橫梁杠桿垂直，轉動平衡錘調整杠桿至水平以上，用M16螺母固定平衡錘。旋轉傳壓螺釘與傳壓板接觸，調整0～30 mm位移傳感器的觸頭位置，調零百分表。根據試驗要求，對試樣進行加載。隨著試樣的下沉，杠桿向下傾斜，為防止杠桿傾斜影響加載精度，調節調平手輪，使杠桿處于水平位置。試驗進行3 d后記錄樣品高度，計算樣品壓縮后的體積，結束試驗，倒出裝樣筒內的稻谷樣品，稱重并記錄稻谷質量。稻谷堆的密度即為稻谷的質量除以壓縮后的體積[5]。

1.2 結果與分析

1.2.1 平均豎直應力

淮稻5號稻谷的內摩擦角和摩擦系數隨含水率的變化不顯著，不同壓應力條件下內摩擦角和摩擦系數不同。由直剪儀測得的試驗結果見表1。

使用回彈模量儀通過逐級加載的方式對稻谷堆進行壓縮試驗，加載的頂部豎直應力分別為50、100、150、200、250、300 kPa。根據表1 中的參數與試驗測定的樣品壓縮的頂部壓力與樣品高度，根據式(5)計算得到稻谷堆所受的平均豎直應力，結果見表2。

表1 不同壓應力下稻谷的內摩擦角和摩擦系數

1.2.2 稻谷堆的壓縮密度

不同含水率、不同頂部壓應力下的稻谷堆壓縮后測定的密度見表3。

1.2.3 稻谷堆壓縮密度與平均豎直應力的關系

根據表2和表3作圖，可以得到稻谷堆壓縮密度與平均豎直應力的關系曲線，如圖2所示。

圖2 不同含水率下的稻谷堆密度與平均豎直應力的關系曲線

由圖2可以得到，在同一含水率下，隨著平均豎直應力的增大，稻谷堆的壓縮密度增大。根據圖2可擬合出稻谷堆密度與平均豎直應力的關系方程為ρ=-apv2+bpv+c(ρ=F(pmax))，其中方程系數a、b、c隨含水率的變化而變化，結果見表4。

表2 不同含水率、不同頂部壓力下的稻谷堆所受的平均豎直應力/kPa

表3 不同含水率、不同頂部壓力下的稻谷堆的壓縮密度/kg/m3

表4 平均豎直應力與稻谷堆密度的擬合方程系數

2 帶錐斗筒倉內稻谷密度、壓應力與糧層深度關系的微分方程組

設帶錐斗筒倉的直徑為D，圓筒高為H，錐斗高為h，錐斗壁與水平面夾角為α，稻谷的內摩擦角為φ，稻谷儲藏在倉中，倉墻與稻谷間的摩擦系數為μ，設水平壓應力與豎直應力大小不隨半徑的大小和方向而變化。帶錐斗的筒倉和稻谷表面下深度y處稻谷的微元層受力示意圖如圖3所示。

對于筒倉的筒體部分，其微元層的受力如圖3b所示。由于微元層在豎直方向上合力為零，則得到：

(pv+dpv)A+μphCdy-pvA-ρgAdy=0

(7)

式中：pv為稻谷豎直應力/kPa；ph為側應壓力/kPa；ρ為稻谷的密度/kg/m3；g為重力加速度/m/s-2；A為圓筒的橫截面面積/m2；C為圓筒的周長/m；且

(8)

式中：R為水力半徑/m；R=D/4。

圖3 筒倉的筒體中微元體受力圖

稻谷靜態儲藏在筒倉中，稻谷處于主動應力狀態，根據Janssen理論[18]，稻谷最小主應力(即筒壁側壓力ph)和最大主應力(即豎直應力pv)之比k為：

(9)

結合式(6)～式(8)得到筒體部分最大主應力pv的微分方程：

(10)

而筒體部分最小主應力ph為：

ph=kpv

(11)

對于筒倉的錐斗部分，其截面圖和微元層受力如圖4所示。在同一水平面上的錐斗部分微元層，其糧堆的最大主應力的大小與方向都是變化的。在錐斗壁處稻谷處于被動應力狀態，此處最大主應力方向垂直于錐斗壁。筒體底層中心的最大主應力與錐斗頂面中心最大主應力是相等的。錐斗內的任一水平微元層，中心豎直應力(pvc)是該處的最大主應力，邊緣豎直應力并不是該處的最大主應力，也不是該處的最小主應力，在錐斗壁處(微元層邊緣處)取一微元體如圖4b、圖4c 所示，微元體受到的最大和最小壓應力分別為phmax和phmin，phmax為錐斗壁側壓力，且微元體的最小壓應力和最大壓應力之比為k。

圖4 筒倉錐斗部分微元體受力圖

根據Rankine壓力理論[22]得到水平稻谷薄層邊緣處豎直應力pve：

(12)

令

(13)

同一水平微元層的豎直應力取平均值phv：

phv=(pve+pvc)/2=(λ+1)phmax/2

(14)

作用于微元層上豎直方向的合力等于0：

phvAa+ρgV-(phv+dphv)Ab-phmaxScosα=0

(15)

式中：Aa為上底面的面積/m-2；Ab為下底面的面積/m-2；S為側表面積/m-2；V為微元體的體積/m-2。

設水平面上稻谷薄層的半徑為r，則：

Aa=πr2

(16)

Ab=π(r-dycotα)2=π(r2-2rcotαdy)

(17)

(18)

(19)

結合式(13)～式(18)式并化簡得到錐斗部分最大主應力(錐斗壁側壓應力)方程：

(20)

結合式(10)、式(11)、式(6)得到筒體部分壓應力、密度與糧層深度關系的方程組：

(21)

結合式(13)、式(14)、式(20)、式(6)得到錐斗部分壓應力、密度與糧層深度關系的方程組：

y∈(H,H+h]

(22)

式中：phv為錐斗中糧堆豎直應力/kPa；phmax為錐斗壁側壓應力/kPa。

方程組(21)、方程組(22)的連續條件為：

pv(H)=phmax(H)

(23)

方程組(21)、方程組(22)的邊界條件為：

(24)

3 帶錐斗筒倉中稻谷堆密度、壓應力與糧層深度的關系

3.1 淮稻5號稻谷在帶錐斗筒倉中的密度與糧層深度的關系

設筒倉的參數條件如表5所示。儲藏稻谷的含水率為12.0% w.b.，其內摩擦角為40°，與倉壁的摩擦系數為0.35，稻谷的表面密度為600 kg/m3。稻谷堆頂部糧面是水平，并選擇糧堆的每一薄層為0.1 m。數值法求解微分方程組(21)和方程組(22)，從而計算得到不同糧層深度下稻谷堆的密度，如圖5所示。

表5 筒倉的參數

圖5 稻谷堆密度與糧層深度的關系

從圖5可以看出：1)1號、2號、3號筒倉中，在筒體部分，隨著糧層深度的增加，稻谷堆密度先快速增大，然后再慢緩增大；到錐斗部分時，隨著糧層深度的增加，稻谷堆密度開始逐漸減小。4號淺圓倉由于倉底沒有帶錐斗，其稻谷堆密度一直隨糧層深度的增加而增大。2)在同樣的糧層深度下，倉內稻谷堆的密度隨著筒倉半徑的增大而增大。

3.2 帶錐斗筒倉中糧堆豎直應力、側向應力與糧層深度的關系

筒倉的倉型、大小見表5，稻谷堆的其他參數同3.1。數值計算可得到不同糧層深度下稻谷堆的豎直應力與側向應力。

3.2.1 豎直應力與糧層深度的關系

計算方程組(21)和方程組(22)給出筒倉中糧堆的豎直應力與糧層深度的關系如圖6 所示。

圖6 稻谷堆所受豎直應力與糧層深度的關系

從圖6可以看出：1)在筒體部分(1、2、3號筒倉)，稻谷堆的豎直應力都隨糧層深度的增加而增大，到錐斗部分(1、2、3號筒倉)時，稻谷堆豎直應力隨糧層深度的增加而減小；4號淺圓倉底部沒有錐斗，稻谷堆的豎直應力一直隨著糧層深度的增加而增大。2)在同樣的糧層深度下，倉內稻谷堆的豎直應力隨著筒倉半徑的增大而增大。

3.2.2 側向應力與糧層深度的關系

計算方程組(21)和方程組(22)給出的筒倉中糧堆的側向應力與糧層深度的關系如圖7 所示。

圖7 稻谷堆所受側向應力與糧層深度的關系

從圖7可以看出：1)在筒體部分(1、2、3號帶錐斗筒倉中)的稻谷堆的側向應力隨著糧層深度的增加而增大；在筒體與錐斗結合處，稻谷堆的側向應力突然增加；到了錐斗部分，隨著糧層深度的增加，稻谷堆所受側向應力先稍增大再逐漸減小。4號淺圓倉底部沒有錐斗，所以稻谷堆的側向應力一直隨著糧層深度的增加而增大。2)在同樣的糧層深度下，稻谷堆的側向應力隨著筒倉半徑的增大而增大。

4 基于密度變化機理的筒倉中稻谷儲藏總質量

4.1 稻谷儲藏總質量積分模型

給定筒倉及稻谷堆的各參數值，采用本模型計算出帶錐斗筒倉中各糧層的密度，稻谷總質量的積分計算為式(25)。

(25)

式中，ρ1為筒體部分糧層深度y處稻谷密度/kg/m3；S1為筒體部分糧層深度y處橫截面積/m2；ρ2為錐斗部分糧層深度y處稻谷密度/kg/m3；S2為錐斗部分糧層深度y處橫截面積/m2。

4.2 模型預測結果

國家糧食局科學研究院小湯山試驗基地1、3、5、7號筒倉內徑為3 m，高度為10 m，倉內儲藏糧種為稻谷。筒倉與稻谷的參數及實際賬面稻谷總質量見表6。運用式(25)計算得到各個筒倉中儲藏的稻谷總質量，計算結果見表6。

表6 圓倉與稻谷的參數值及模型預測的筒倉中稻谷總質量

從表6可看出，模型預測的筒倉中稻谷總質量與實際賬面值幾乎一致，最大誤差只有0.55%。

5 模型預測與體積密度法計算結果比較

選定表6的參數，本模型計算得到的4個筒倉中稻谷總質量與常用的體積密度法計算得到的4個筒倉中稻谷總質量見表7。

表7 本模型、常用的體積密度法得到的稻谷儲藏總質量與實際賬面數的比較

注：體積密度法的密度修正系數為1.015。

由表7可以看出，1、3、5、7號倉中，本模型計算得到的儲藏總質量比常用的體積密度法誤差小，且更接近實際賬面數，體現出了本模型的可靠性。

6 結論

6.1 本試驗模型預測給出：在筒倉的筒體部分，稻谷堆密度隨著糧層深度的增加而增大，在錐斗部分，隨著糧層深度的增加而減小。由本模型預測的密度而計算得到的國家糧食局科學研究院小湯山試驗基地1、3、5、7號筒倉稻谷儲藏總質量與實際賬面數的誤差為0.38，常用的體積密度法計算值與實際賬面數的誤差為1.06，這體現出了本模型的可靠性。

6.2 本試驗模型預測給出：在筒倉的筒體部分，稻谷堆豎直應力隨糧層深度的增加而減小；在錐斗部分，稻谷堆豎直應力隨著糧層深度的增加而減小。

6.3 本試驗模型預測給出：在筒倉的筒體部分，稻谷堆側向應力隨著糧層深度的增加而增大；在筒體與錐斗結合處，稻谷堆側向應力突然增加；到了錐斗部分，隨著糧層深度的增加，稻谷堆側向應力先稍增大再逐漸減小。

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The Model of Density and Pressure Distribution of Paddy in the Hopper-Bottom Silo

Du Xiaocui Yan Xiaojie Cheng Xuduo Gao Mengyao Feng Jiachang

(College of Food Science and Engineering;Nanjing University of Finance and Economics;Collaborative Innovation Center for Modern Grain Circulation and Safety Jiangsu Province，Nanjing 210046)

The LHT-1 rebound modulus tester was used to determine the compression density of paddy.The differential equations of density，stress and grain layer depth in hopper-bottom silo were built.Numerical method was used to obtain the relationship of density，pressure and depth and then the total weight of paddy was calculated by integration.Experimental results show that as the average vertical stress of paddy(00.495～245.892 kPa)，the compression density of Huaidao No.5 paddy increased from 582.772～696.593 kg/m3in the moisture range of 10.38%～18.30% w.b.Model calculation results showed that in a silo with a cone hopper，density of paddy in cylinder of silo increased with the paddy depth，the density of paddy in cone hopper decreased with the increase of depth.The vertical stress acting on the paddy in cylinder part of silo increased with depth of paddy，and then decreased with the increase of depth in cone hopper.The lateral stress acting on the paddy in cylinder of silo increased with depth，then increased sharply in the junction of cylinder and cone hopper，the lateral stress of paddy in the cone hopper first increased slightly，and then decreased with the increase of depth of paddy heap.

hopper-bottom silo，paddy，density，vertical stress，lateral pressure

國家自然科學基金(31371856)，公益性行業(糧食)科研專項(201313001)

杜小翠，女，1991年出生，碩士，糧食儲藏工程

程緒鐸，男，1957年出生，教授，糧食儲藏工程

TS210.4

A

1003-0174(2017)05-0102-08