半圓拱巷道截面積的數值積分求解方法研究

班濤+姜冰

摘 要：為準確求出礦井巷道的橫截面積，運用復化梯形求積公式法對其進行計算。復化求積法是一種先用低階的牛頓-柯特斯公式求得每個子區間上的積分值，然后再求和，并把和作為所求積分的近似值。首先對具體問題進行分析，然后建立數學模型，根據設定的數據列出積分式子，最后用復化梯形公式求解，并通過Matlab編程來實現復化梯形公式的求積過程。最后根據得出的結果進行分析，為具體的巷道設計提供數據參考。

關鍵詞：橫截面積；礦井巷道；復化梯形公式

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.13.210

煤炭工業是國民經濟中的基礎，它為經濟生產提供原料和能源。煤炭工業生產的順利進行，一定程度上取決于煤炭工業基本建設及開拓延伸工作能否及時、持續地提供生產煤炭的場地。為了將煤從地下采出，需從地表開始，開鑿一系列的井筒、硐室及巷道以便到達煤層，這便是礦山基本建設的主體工程。其中涉及到大量的巷道斷面的設計，包括巷道尺寸和橫截面積的計算。設計的巷道斷面直接作為井下巷道施工的依據，也是進行巷道工程概預算的依據。我國煤礦井下使用的巷道斷面形狀，按其構成的輪廓線可分為圓形類、拱形類、矩形類和梯形類共四大類，在此選擇底板水平、兩幫垂直、頂板為弧形的半圓拱斷面進行數學建模并求其橫截面積。

1 問題分析及模型

礦井巷道分為梯形巷道，三心拱巷道，半圓拱巷道等，本案例選擇半圓拱巷道模型并求解其面積。

但實際使用這種方法往往有困難，因為大量的被積函數，找不到用初等函數表示的原函數，此時Newton-Leibniz公式不能直接運用，需要用其他有效的數值積分方法求解。在此，運用數值積分方法中的復化梯形求積公式進行求解。

2 復化梯形求積公式原理

在使用牛頓-柯特斯公式時，通過提高階的途徑并不總能取得滿意的效果，為了改善求積公式的精度，一種行之有效的方法是復化求積。將積分區間分割為n等份，步長，各節點為。所謂復化求積公式，就是先用低階的求積公式求得每個子段上的積分值，然后用作為積的近似值。在子區間上使用Newton-Cotes公式，將分割為等份，步長為，節點為記為 ，在上作的階Newton-Cotes求積公式

3 算法的Matlab實現

3.1 實驗數據

半圓拱巷道截面積求法可用數值積分中復化梯形求積公式

求得。用上述的的公式來計算半圓拱巷道截面積，（其中，矩形長，矩形寬）；同時公式（1）中的積分區間，然后將積分區間進行等分，用表示二分次數，即區間等分數，得到個小區間，，每個小區間的長度為，其中。并且按

進行計算。

3.2 Matlab程序代碼

function FHQJ

k=2；

m=4；

a=0； % a，b 為區間

b=2；

epsilon=1e-3； % 精確度

fun=@（x.）sqrt（-x.^2+k*x）+m；

n =1；

h=（b-a）/2；

y0=h*（feval（fun，a）+feval（fun，b））；

yiter=y0；

while 1

step =2^（n-1）；

f=sum（feval（fun，a+（1：2：2*step-1）*h））；

y=y0/2+h*f；

if abs（y-y0）<3*epsilon

break；

end

h=h/2；

y0=y；

yiter=[yiter，y0]；

n=n+1；

end

yiter

disp（y）；

Error=double（int（'sqrt（-x^2+2*x）+4'，'x'，0，2）-y）； %%與真值誤差

disp（Error）；

4 計算結果及分析

4.1 計算結果

本案例設定誤差不超過10-3，在Matlab下運行程序后的結果如下（k表示二分次數）：

當運行到k=8， 即時就能滿足與真實值誤差不超過10-3，此時誤差為0.0011。

4.2 結果分析

復化梯形求積公式能夠較準確的得到實驗結果yiter=9.5696，用在較少的計算量便能夠達到預定精度，得到準確值與近似值的絕對誤差Error=0.0011，較好的完成了巷道面積的計算問題。

5 總 結

本文建立了礦井巷道截面積的計算模型，根據半圓拱形截面積函數，運用復化梯形求積公式進行計算，并編制基于Matlab的計算程序。根據復化梯形求積公式的原理將所求函數的積分區間分為若干個小的積分區間，先求出每個小積分區間上的積分近似值，然后再將這些近似值加起來就是我們所要求的橫截面積的近似值，函數區間所分的小區間的個數越多，計算結果就越精確，其原因就是所分的區間數越多，計算時每個小區所帶來的誤差就越小，對其求和所帶來的總的誤差也就越小，所以最后的結果精度就越高。本文算例結果表明該方法具有較高精度、操作簡單等優點，且便于程序化。

參考文獻：

[1]孫祥，徐流美，吳清.Matlab7.0基礎教程[M].北京：清華大學出版社，2005.

[2]薛毅.數值分析與實驗[M].北京：北京理工大學出版社，2005.

[3]林柏泉，崔恒信.礦井瓦斯防治理論與技術[M].徐州：中國礦業大學出版社，1998.

[4]煤礦瓦斯治理與應用總體方案[Z].北京：國家安全生產監督管理總局，2005.

[5]汪卉琴，劉目樓.數值分析[M].北京：冶金工業出版社，2004.

[6]李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].武漢：華中科技大學出版社，2006.

[7]肖偉，劉忠，曾新勇等.Matlab程序設計與應用[M].北京：清華大學出版社，2005.

[8]東兆星，吳士良.井巷工程[M].徐州：中國礦業大學出版社，2009.

作者簡介：班濤（1982-），男，河南焦作人，講師。