豐盈經(jīng)歷 理解算理

楊武昌

培養(yǎng)學生的計算能力是小學數(shù)學教學的核心任務之一。計算能力強弱的重要標志是對計算過程的深刻理解。理解計算過程不光要知道怎樣計算，更重要的是要明確為什么要這樣計算，這實質(zhì)上是一個算理問題。“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）筆算乘法”這一內(nèi)容安排在人教版三年級數(shù)學下冊第四單元。這部分知識是在學生已經(jīng)掌握了“乘數(shù)是一位數(shù)筆算乘法”及“用整十數(shù)乘”的基礎(chǔ)上進行教學的，它是學生進一步學習乘數(shù)是三位數(shù)乘法的基礎(chǔ)。“乘數(shù)是一位數(shù)筆算乘法”的算理和算法都將直接遷移到兩位數(shù)乘兩位數(shù)中來。因此，學生對算理和算法的理解和探索并不會感到困難。本節(jié)課除了讓學生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的算理、掌握其算法以外，還承擔著計算與應用兩個任務。那么，在本課教學中，如何使計算教學與數(shù)學應用和諧交融，有機結(jié)合呢？

一、情境創(chuàng)設(shè)，支撐理解

小學數(shù)學課程標準強調(diào)，計算應使學生經(jīng)歷從現(xiàn)實生活中抽象數(shù)和簡單的數(shù)量關(guān)系，在具體的情境中理解，并應用所學的知識解決問題的過程，避免將運算與應用割裂開來。教學中，教師要根據(jù)學生認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗，選擇學生感興趣的事物、活動，用蘊含數(shù)學信息的故事、游戲、圖片，創(chuàng)設(shè)各種生動形象的、與教材內(nèi)容有關(guān)的教學情境，拓寬學生數(shù)學學習的視野，以激發(fā)學生學習興趣，引導他們積極主動地參與到學習中去。

如，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）筆算乘法”的教學伊始，充分利用課本資源，借助多媒體課件創(chuàng)設(shè)這樣一個學生熟知的情境：媽媽帶小紅去書店買課外書，每本14元，一共買了12本。一共要付多少錢？從而引導學生得出14×12的數(shù)學算式。通過這樣創(chuàng)設(shè)簡單、有效的情境不僅讓學生從具體的生活問題中自然引出數(shù)的計算，改變枯燥的呈現(xiàn)方式，而且豐富了學生的學習過程，從而使學生感受到數(shù)學在實際生活中的應用價值。然而，計算教學的情境不是隨便亂用，只有創(chuàng)設(shè)相當合適的教學情境，才會起到相得益彰的作用。如果創(chuàng)設(shè)的教學情境與學生的生活實際太遠，或者情境的數(shù)學價值不大，學生便有可能毫無目的地發(fā)散出去。

二、數(shù)形結(jié)合，促進理解

在小學數(shù)學教學中，教師要從形對于數(shù)的直觀性、數(shù)對于形的深刻性這兩方面，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用。由此，數(shù)形結(jié)合既是研究、探索數(shù)學的一種思想方法，又是幫助學生理解、解釋數(shù)學的一種教學方式與教學手段。在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）筆算乘法”的教學中可以借助數(shù)形結(jié)合，降低學生學習難度，幫助學生更好理解知識，架起算理與算法之間的橋梁，使抽象思維和形象思維有效地結(jié)合起來，從而幫助學生深刻地理解算理。

如，在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）筆算乘法”的教學中可結(jié)合上述情境創(chuàng)設(shè)的基礎(chǔ)上，充分利用“點子圖”幫助學生理解筆算過程中每一步的意義，使算理和算法達到有機融合。

1.把上下分成三個部分，每個部分都是14×4，再把三個部分相加得168（如圖1）。

2.把上下分成四個部分，每個部分都是14×3，再把四個部分相加得168（如圖2）。

14×4×3=168 14×3×4=168

3.把左右分成三個部分，前兩部分都是12×5，第三部分是12×4，再把它們相加得168（如圖3）。

4.把上下分成兩個部分，上部分是14×2，下部分是14×10，兩個部分相加得168。（如下圖4）。

12×5×2+12×4=168 14×2+14×10=168

當然，在交流14×12計算問題時，由于學生的認知建構(gòu)和解決問題的視覺不同，常常會出現(xiàn)不同的算法，教師要尊重學生的個性化算法，鼓勵學生對同一個計算問題進行不同的算法思考，通過交流，體驗算法的多樣化。教師要善于引導學生通過對不同計算方法和點子圖的分析比較、歸納和分類，多中選優(yōu)、擇優(yōu)而用，掌握解題的策略。與此同時，教師可提出如下問題：“你的方法與他的方法不同在哪里？”“你認為他的方法怎么樣？”“誰的方法更好些？”“用他的方法去做一做，你有什么想法？”提倡在算法多樣化的基礎(chǔ)上關(guān)注算法的優(yōu)化。上述教學中，通過運用點子圖將學生的思考從直觀的分一分、算一算，引導學生有意識的思考。這樣既尊重算法的多樣，呵護個性算法，又在尊重算法多樣的前提下幫助學生完成對多樣算法的優(yōu)化，構(gòu)建共性算法——“先分后合”，進而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握。

三、理法通融，強化理解

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“學生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，學生應用知識形成技能，離不開自己的實踐；學生只有在獲得知識技能的活動過程中，才能在數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展。”理解“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）筆算乘法”是本課的重點和難點。眾所周知，算理是運算正確的前提和依據(jù)。算理和算法是計算教學中不可分割的兩個方面，算理解決“為什么這樣算”的問題，算法是算理的具體化，解決“怎樣算”的問題。因此，計算教學中，教師要著力引導學生運用已有的知識技能去體驗，讓他們在具體的思考和探究中理解算理、掌握算法，從而實現(xiàn)算理與算法的有機融合，促進計算能力的不斷提高。

如，教學“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）筆算乘法”例1時，首先，引導學生結(jié)合點子圖，讓學生自主探究“14×12”怎樣算？學生出現(xiàn)多種方法：（1）先算4套要多少錢，再算12套要多少錢；（2）先算3套要多少錢，再算12套要多少錢；（3）先算10套和2套各多少錢，在合起來；（4）用豎式計算。交流時，重點引導學生對（3）的理解，讓學生有意識地先說2套是14×2=28，再交流10套是14×10=140，最后合起來是28+140=168。接著引導學生交流用豎式計算，努力架設(shè)算理直觀與算法抽象之間的橋梁，可先引導學生思考第一層算的是什么？表示什么？第二層呢？表示什么？接下來的呢？（逐步板書如下）

14

×12

28 ……14×2→282個14是28（2套的錢）

140 ……14×10→14040個14是140（10套的錢）

168 ……28+140→16812套的錢

然后，引導學生小結(jié)：剛才先算什么？第一個乘數(shù)與第二個乘數(shù)個位上的數(shù)相乘，算出了2套的錢。再算什么？與第二個乘數(shù)十位上的數(shù)相乘，算出了10套的錢，最后相加，算出12套的錢。

接著再讓學生計算13×52，24×23。并引導學生觀察，這些算式有什么共同的地方？通過觀察比較，發(fā)現(xiàn)并規(guī)范豎式計算的簡便寫法。

最后，再引導學生交流：為什么新的算法第二個積的末尾要與十位對齊？為什么新的算法要把兩次乘得的積分上下兩層來寫？

由此看出，教學中為學生架設(shè)了三座橋梁。第一，通過有意識交流第（3）種解法，為筆算算法的算理做好鋪墊；第二，通過問題“算的是什么？表示什么”，引導學生把視角投向豎式計算的實際情境中，數(shù)形對應，使學生直觀地理解算理，并在直觀算理的支撐下，逐步抽象出算法。第三，安排學生嘗試計算，并引導學生觀察、比較“這些算式有什么共同的地方？”進而簡化豎式。這樣，學生充分體驗了從算理到算法的演變過程，學生學得輕松、理解得更加深刻。

縱觀這一內(nèi)容的教學，對于學生而言，理解算理、建構(gòu)算法往往是一個艱難的過程。因此，教師在引導學生理解算理和算法時，要注意溝通具體直觀和抽象概括之間的聯(lián)系；在引導學生感悟算理和算法時，要提供充分的時間和空間，讓學生豐富體驗、加深認識；在鏈接算理與算法時，要尊重學生的理解和選擇，因勢利導，有針對性地引導學生進行分析比較、反思交流等。只有這樣，才能真正使學生達到算理、算法和技能的有機融合，學生也才能知算理、曉算法；以算理、釋算法；依算理、用算法。從而提升學生的數(shù)學思維，同時為學生以后學習“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進位）筆算乘法”“三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”等提供有益的思維支持。

◇責任編輯：徐新亮◇

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