一道高考題引發的一類函數單調性思考

俞杏明

[摘 要] 由一道高考題猜想推導出一類函數普遍的單調性. 雖然此類函數的項數可以不同，但單調性卻表現一致，且結論非常簡單，體現了數學的和諧、簡潔之美.

[關鍵詞] 高考題；一類函數；和諧簡潔

試題呈現

已知函數f（x）=ax+bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）.

（1）設a=2，b= .

①求方程f（x）=2的根；

②若對于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求實數m的最大值.

（2）若01，函數g（x）=f（x）-2有且僅有1個零點，求ab的值.

——2016屆普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）第19題.

提煉聚焦

在本題的第（2）問中，因為函數g（x）=f（x）-2有且僅有1個零點，而g（0）=f（0）-2=a0+b0-2=0，所以0是函數g（x）的唯一零點，也就是說y=f（x）與直線y=2在x=0處有唯一的交點. 故本題第（2）問的關鍵就是研究函數y=f（x）的單調性.

分析探討

在f（x）=ax+bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）中，

（1）當a>1且b>1時，顯然f（x）在x∈R上單調遞增.

（2）當0

（3）當01（或者a>1且0

因為f′（x）=axlna+bxlnb，f″（x）=ax（lna）2+bx（lnb）x>0，

所以f′（x）在x∈R上單調遞增.

令f′（x）=0，則x=log - ，

當x∈-∞，log - 時，f′（x）<0，f（x）單調遞減；

當x∈log - ，+∞時，f′（x）>0，f（x）單調遞增.

推廣論證

1. 函數形式推廣

如果把剛才的函數推廣為更一般的函數f（x）= a （ai>0，ai≠1），是否也可以討論出類似的單調性結論？

2. 單調性論證

在函數f（x）= a （ai>0，ai≠1）中

（1）當ai>1，i=1，2，3，…，n時，顯然f（x）在x∈R上單調遞增.

（2）當0

（3）當ai（ai>0，ai≠1，i=1，2，3，…，n）不全大于1且不全在0到1中時，

因為f′（x）= （a lnai），f″（x）= [a （lnai）2]>0，

所以f′（x）= （a lnai）在x∈R上單調遞增.

又因為：

當ak>1（1≤k≤n），則x→+∞時a lna →+∞，x→-∞時a lnak→0；

當0

所以在f′（x）= （a lnai）=a lna1+a lna2+…+a lnan中，由ai（ai>0，ai≠1，i=1，2，3，…，n）不全大于1且不全在0到1中得

x→+∞時，f′（x）=a lna1+a lna2+…+a lnan→+∞；

x→-∞時f′（x）=a lna1+a lna2+…+a lnan→-∞.

結合f′（x）連續性，則f′（x）=a lna1+a lna2+…+a lnan=0有唯一解x .

綜合以上得

當x∈（-∞，x0）時，f′（x）<0，y=f（x）單調遞減；

當x∈（x0，+∞）時，f′（x）>0，y=f（x）單調遞增.

結果我們發現：此類看起來很復雜的函數f（x）= a （ai>0，ai≠1）的單調性竟如此簡單、和諧、統一. 這大大出乎我們的意料！

觸類旁通

既然指數函數與對數函數互為反函數，它們具有很多類似的性質，有時候可以把它們歸結為一類函數.那么函數f（x）= logaix （ai>0，ai≠1）的單調性是否也很簡單、統一？

因為f（x）= logaix= =lnx =lnx logaie，

當 logaie>0時，f（x）在x∈（0，+∞）上單調遞增；

當 logaie<0時，f（x）在x∈（0，+∞）上單調遞減；

當 logaie=0時，f（x）為常數0.

解決之道如此簡單，從側面驗證了納皮爾對數法則的強大.