例談特征根方程求解線性遞推數列

戴培紅

[摘 要] 特征根方程是求解線性數列通項中必備的知識，將數列問題通過特征方程轉換為可求解的通式模型. 本文簡要介紹特征方程原理的來源，并例談解決線性數列中使用特征方程的作用.

[關鍵詞] 數列；特征方程；線性；二階；分式

在數列通項求解中，有幾類數列通項求解難度較大，往往涉及競賽數學中的知識. 特征方程求解數列通項正是其中一類. 在不少稍難數列通項求解過程中，需要用到特征方程的原理，但是筆者發現很多教師只講特征方程的運用，并不講原理的來源，這是典型的應試教育、灌輸式教育，是不妥的，因此筆者認為先要講清原理的來源，才能真正體會特征方程原理的作用.

二階線性特征方程原理

定理：設p，q為實數，α，β是方程x2-px+q=0的兩個實根，已知數列{xn}的前兩項為x1，x2，且滿足xn=pxn-1-qxn-2（n=3，4，…），證明：數列{xn}的通項公式為：（Ⅰ）α≠β，xn=Aαn+Bβn，A= ，B= ；（Ⅱ）α=β，xn=（A+Bn）αn，A= ，B= .

證明：（Ⅰ）其中p-q=1時，由p-q=1，得：p=1+q，代入遞歸式，易得：xn=x1+ .

（Ⅱ）其中p-q≠1時，當p-q≠1時，受（Ⅰ）啟示，設原遞歸數列能表示為：xn-αxn-1=β（xn-1-αxn-2） （n≥3），整理得：xn=（α+β）xn-1-αβxn-2，與原遞歸式比較系數，得：α+β=p，αβ=q，可見α，β是方程x2-px+q=0（*）的兩根（實虛均可）①.

若x2-px+q=0有兩不同實根α，β，xn-αxn-1=β（xn-1-αxn-2）=…，遞推之得：xn-αxn-1=βn-2（x2-αx1）（1），同理：xn-βxn-1=αn-2·（x2-βx1）（2），聯立（1）（2）兩式解得：xn=x2 +（-αβ）x1 （3），化簡并合并同類項，可得：xn= αn+ βn. 令：xn=Aαn+Bβn，其中：A= ，B= .（4）②.

若t2-pt+q=0有兩相同實根α=β，則由（1）式可得：xn-αxn-1=（x2-αx1）αn-2（5），整理（5）式：xn=αxn-1+（x2-αx1）αn-2，兩邊同除以αn： = + ，因此 以 為首項， 為公差的等差數列. 得：xn= + ·nαn，令：xn=（A+Bn）αn，其中：A= ，B= ，（6），綜上（4）（6），定理證畢.

特征方程的運用

從二階線性特征方程定理的理解來看，不難發現α，β代表的含義是其特征方程的兩根，從上述定理可知，很多類似的競賽問題中的答案就不難看懂了，為什么可以簡化為類似的過程.

運用一：二階線性遞推數列

問題1：設p，q為實數，α，β是方程x2-px+q=0的兩個實根，數列{xn}滿足x1=p，x2=p2-q，xn=pxn-1-qxn-2（n=3，4，…），求數列{xn}的通項公式（用α，β表示）.

分析：本題與定理幾乎一致，我們可以從定理的結論入手，直接使用驗證定理的正確性.

解析：（Ⅰ）當α≠β時，因為x2=p2-q，x1=p，所以x2=α2+β2+αβ，x1=α+β，A= = = ，B= = = ， ，所以xn=Aαn+Bβn= + = .

（Ⅱ）當α=β時，所以x2=3α2，x1=2α，A= = =1，B= = =1，所以xn=（A+Bn）αn=（n+1）αn.

綜上（Ⅰ）（Ⅱ）所述，數列{xn}的通項公式為：xn= ，α≠β，（n+1）αn，α=β.

問題2（教材課后練習）：數列{an}滿足：a1=1，a2=4，且an+2=5an+1-6an，求{an}的通項公式.

分析：教材中的問題比較特殊，可以用an+2-2an+1=3（an+1-2an）整體性構造來解，但是并不具備一般性.因此我們可以從特征方程角度入手獲得問題解決的一般性.

解析：特征方程x2-5x+6=0兩根為α=2，β=3，所以，由α≠β時特征定理，an=A·2n+B·3n，又a =1=A·2+B·3，a =4=A·4+B·9 ？圯A=- ，B= ，所以，an=- ·2n+ ·3n=-2n-1+2·3n-1.

運用二：分式線性遞推數列

分式線性遞推數列的求解與二階類似，利用轉化將未知模型通過加減參數使其轉換為等差數列、等比數列模型，其也有固定的求解公式模型，因推導過程類似及本文篇幅，故推導不贅述.筆者通過一例簡要分析.

問題3：設數列{an}滿足a1=2，an+1= ，求an.

分析：分式線性遞推數列是更難的一種數列模型，通過特征方程找到其顯著特征，利用整體性思想換元切入，轉換為等比或等差數列模型是解決分式遞推數列的一般化模型.

解析：對等式兩端同加參數t得：an+1+t= +t= =（2t+5）· ，令t= ，解之得t=-1、2，代入上式得an+1-1=3· ，an+1+2=9· ，兩式相除得 = · ，即 首項為 = ，公比為 的等比數列，易得an= .

從上述線性遞推數列的解決中，我們不難發現稍難的數列通項問題求解的一般化規律，筆者認為教學可以引導學生關注下列幾個方面：第一，線性遞推數列是具備模型化的數列，必然有相對應的特征方程與之對應，二階線性遞推數列和分式線性遞推數列是高考數學、競賽數學常常考查的熱點（一階線性比較容易），成為必備掌握的兩種基本模型；第二，學習特征方程的作用是給優秀學生開拓思路，理解數列通項變化中隱含的不變性，為解決其他各種陌生問題提供可借鑒的思路；第三，重視等差數列和等比數列的基本知識、基本技能，并將整體化思想貫穿于通項求解的始終，將這種不斷變形、不斷轉化的想法融入線性數列通項求解中，達到順利求解的目的. 最后，筆者想說要學會運用特征原理，更要懂得特征原理的來源，學知識不能只記公式而不去了解過程，否則知識永遠達不到融會貫通的地步.