例析點差法解決雙曲線的點線對稱問題

余隆蘭+梁顯定

[摘 要] 橢圓拋物線均可用“點差法”求出中點的坐標，再利用中點在其內部建立不等式，解決點線對稱問題. 但是雙曲線的弦的中點不一定在雙曲線的內部，因此鮮有文章予以解讀. 筆者通過一個實例剖析如何利用“點差法”解決雙曲線中的“點線對稱問題”.

[關鍵詞] 雙曲線；點線對稱；點差法

圓錐曲線上存在兩點關于某動直線對稱的問題（以下簡稱“點線對稱問題”），是解析幾何中一類綜合性較強的問題，通常可以聯立方程組消元得出中點的坐標，再利用韋達定理建立不等式（以下簡稱“判別式法”）進行求解. 但是“判別式法”計算煩瑣，學生不易準確掌握.對于橢圓、拋物線均可利用點差法求出中點坐標，再利用中點在橢圓、拋物線內部建立不等式（以下簡稱“點差法”），可以大幅地簡化計算. 但是雙曲線的弦的中點所滿足的約束條件難以確定，因此鮮有文章予以解讀. 筆者通過一個實例剖析如何利用“點差法”解決雙曲線中的“點線對稱問題”，愿與讀者相互切磋，共同探究.

命題：設雙曲線C： - =1（a>0，b>0），點P（x0，y0）為平面內一點，當且僅當 - >1或 - <0，即點P在如圖1所示的陰影區域內時，存在過點P的弦AB，使得點P為AB的中點.

證明：“必要性”

當點P在如圖1所示的陰影區域內，且在x軸上時，顯然存在過點P的弦AB，使AB的中點為P.

當點P（x0，y0）在陰影區域內，且點P不在x軸上時，有 - >1或 - <0且y0≠0.

設直線l：y-y0= （x-x0），則點P（x0，y0）在直線l上.

下證直線l與雙曲線C相交于兩點，設交點為A，B.

當點P在雙曲線內部（陰影區域①②內），且點P不在x軸上時，

因為 - >1，所以 > ，x0> y0，

kl= > ，即kl> 或kl< - .

由于點P在雙曲線內部，結合圖形知，直線l與雙曲線的某一支有兩個交點.

同理，當點P在陰影區域③④內，且點P不在x軸上時， - <0，則x0< ·y0.

k = < ，-

點P在陰影區域③④內，結合圖形知，直線l與雙曲線的左右兩支各有一個交點.

下證點P為弦AB的中點：

設直線l與雙曲線C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），點M（xM，yM）為弦AB的中點.

因為A（x1，y1），B（x2，y2）均在雙曲線上，

所以 - =1且 - =1.

將兩式相減，整理得 = = ，

kl= = ， = .

設 = =λ，則xM=λx0，yM=λy0.

因為點M（xM，yM）在直線l：y-y0= （x-x0）上，

所以λy0-y0= （λx0-x0）（y0≠0），

（λ-1） -1=0.

因為 - <0，所以 -1<0，λ=1.

故點P與點M重合，即點P為弦AB的中點，得證.

“充分性”

假設在雙曲線上存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），使得點P（x0，y0）為弦AB的中點.

當A，B兩點在雙曲線的同一支上，顯然點P在雙曲線內部（陰影區域①②內），滿足 - >1.

當A（x1，y1），B（x2，y2）兩點分別在雙曲線左右兩支上時，

- =1且 - =1，將兩式相減，整理得 = = .

因為kAB= < ，

所以 - <0，證畢.

例：已知雙曲線C：x2- =1上存在關于直線l：y=kx+4的對稱點A，B，求實數k的取值范圍.

解法一（判別式法）：設A（x1，y1），B（x2，y2）兩點是符合題意的兩點，其中點為M（x0，y0），

當k=0時，不滿足題意；

當k≠0時，設直線AB的方程為y= - x+m，

聯立直線與雙曲線的方程

y=- x+m，x2- =1

（3k2-1）x2+2mkx-（m2k2+3k2）=0.

k2≠ 且Δ=4m2k2+4（3k2-1）（m2k2+3k2）>0，

化簡得：k2≠ 且m2k2+3k2-1>0（1），

x1+x2=- =2x0，x0=- .

因為點M（x0，y0）在直線AB上，

所以y0=- ·- +m= .

因為點M（x0，y0）在直線l：y=kx+4上，

所以 =- +4，m= （2），

將（2）帶入（1）得 k2+3k2-1>0，

化簡得12k4-7k2+1>0，

k2> 或k2< ，

- 或k< - .

解法二（點差法）：設A（x1，y1），B（x2，y2）兩點是符合題意的兩點，其中點為M（x0，y0），

當k=0時，不滿足題意；

當k≠0時，x - = 1且x - =1，

將兩式相減，整理得 = = ，

kAB= =- ，y0=-3kx0（1）.

因為點M（x0，y0）在直線l：y=kx+4上，所以y0=kx0+4（2）.

由（1）（2）得x0=- ，y0=3.

由命題得，x - >1或x - <0，

- -3<0或- -3>1，

- 或k< - .

利用點差法解決點線對稱問題可以避免繁雜的計算，學生更容易掌握.至此，無論是橢圓雙曲線還是拋物線均可利用點差法求解，只是雙曲線的弦AB的中點所滿足的約束條件與橢圓、拋物線有差別.