2016年高考數學四川卷理科21題的思路發現

李秀萍+趙思林

[摘 要] 關于2016年高考數學四川卷理科21題解法的思路發現，可從直接構造函數（探求并發現a的邊界值）、將含x的項與常數分離、分離參數以及高等數學背景等角度著手進行.

[關鍵詞] 高考數學；四川卷；思路發現；數學探究

問題是數學的心臟，數學問題解決是解題教學的核心任務. 解決數學問題的關鍵是解題思路的探索與發現，數學解題思路的發現常常需要敏銳的觀察，廣泛的聯想，大膽的猜想，也需要嘗試與預估、經驗與頓悟、機遇與靈感. 發現教學（發現學習）是培養創新人才的重要方式，其時機一般出現在數學問題解決的思路的探索與發現上. 2016年高考數學四川卷理科21題第（Ⅱ）問是一個解題思路難以發現的問題.下面對該題的解題思路的探索與發現，從直接構造函數（探求并發現a的邊界值）、將含x的項與常數分離、分離參數以及高等數學背景等角度進行一番分析與探究.

2016年高考數學四川卷21題是：

設函數f（x）=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）確定a的所有可能取值，使得f（x）> -e1-x在區間（1，+∞）內恒成立（e=2.718…為自然對數的底數）.

關于第（Ⅰ）問的思路發現與解答，考生感到不困難. 現只列出其解答：

f′（x）=2ax- = （x>0）.

當a≤0時， f′（x）<0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減.

當a>0時，由f′（x）=0，有x= . 此時，當x∈0， 時，f′（x）<0，f（x）單調遞減；當x∈ ，+∞時，f′（x）>0，f（x）單調遞增.

對于第（Ⅱ）問，關鍵是證明：2ax- + -e1-x>0（x>1）. 這是一個含參數的不等式，左邊有1個整式項，2個分式項，還有1個超越項.考生普遍感到這個不等式的證明的思路難以發現. 其原因主要有兩個：一是需要預估a的取值范圍中的邊界值，在放縮過程中需要用到a的邊界值，但其邊界值不容易發現；二是e1-x< 的放縮不容易想到，為什么這樣放縮也弄不清楚.這里最大的困難是，為什么要對e1-x進行放縮，并且用e1-x< 來放縮，這些從“標準答案”是看不出來的. 關于e1-x的放縮，可以通過分析與探究而得到.注意到e1-x是超越函數，它與前面的整式項和分式項都無法合并，從而也無法通過運算判斷函數值的符號，因此，需要考慮對其進行放縮.怎樣放縮呢？由于e1-x= ，自然想到將 的分母進行放縮，變為多項式結構. 比如，可以考慮 < （x>1），或 < （x>1），這樣做的依據是泰勒公式（不必給學生補充）：ex=1+x+ +…+ +…，但是 或 與不等式2ax- + -e1-x>0中的兩個分式項仍然不好直接合并，而且如果通分則運算量也較大，所以考慮將 或 變得更簡單一些.比如，考慮最簡單的情況，嘗試并猜想：e1-x< （x>1）.下面探求并待定k的值，兩邊同乘以x·ex，即ex1）成立.

思路探究1 直接構造函數（探求并發現a的邊界值）

首先證明：e1-x< （x>1）. 事實上，命n（x）=ex-1-x，則當x>1時，有n′（x）=ex-1-1>0，所以n（x）在（1，+∞）上單調遞增，從而n（x）>n（1）=0，即ex-1>x，所以e1-x< . 也可以通過構造對數式來證明：e1-x< （x>1）？圳1-x<-lnx？圳p（x）<0，其中p（x）=lnx-x+1（x>1）. 由x>1，得p′（x）= -1<0，所以p（x）單調遞減，因此p（x）

接著發現a的邊界值. 設g（x）=ax2-a-lnx- +e1-x（x>1），問題等價于g（x）>0（x>1）. 注意到g（1）=0，則有g（x）>0？圳g（x）>g（1）. 又g′（x）=2ax- + -e1-x（x>1），并且g′（1）=2a-1. 若令g′（1）≥0，則a≥ . 由此可大膽猜想：a的取值范圍是a≥ .

最后的工作是證明這個猜想.需分下面三種情況討論：

（1）當a≥ 時，并注意到x∈（1，+∞），則有

g″（x）=2a+ - +e1-x≥1+ - +e1-x= +e1-x>0.

所以當a≥ 時，g′（x）在（1，+∞）上單調遞增，

所以g′（x）>g′（1）=2a-1≥0，

因此g（x）在（1，+∞）上單調遞增，

從而g（x）>g（1）=0，

故g（x）>0在x∈（1，+∞）上恒成立.

（2）當a≤0時，由（I）知，f（x）在（1，+∞）上單調遞減，所以f（x）1）知， -e1-x>0，從而f（x）> -e1-x>0. 矛盾. 故當a≤0時，f（x）> -e1-x在區間（1，+∞）上不成立.

（3）當01，由（Ⅰ）知，f 1）有m >0. 故當0 -e1-x在區間（1，+∞）上不恒成立.

綜合（1）（2）（3），得a∈ ，+∞.

說明：以下不再寫出（2）（3）的證明過程.

思路探究2 將含x的項與常數分離

將含x的項全部寫在左邊，a寫在右邊，即ax2-lnx- +e1-x>a（x>1）.

令h（x）=ax2-lnx- +e1-x（x>1），觀察發現h（1）=a，問題轉化為證明：

h（x）>h（1）（x>1）.

由于h′（x）=2ax- + -e1-x（x>1），h′（1）=2a-1，令h′（1）≥0，從而可大膽猜想：a的取值范圍是a≥ .

下面給出證明：令h（x）=ax2-lnx- +e1-x（x>1），當a≥ 時，2ax>1，并利用前面已證明過的e1-x< （x>1），從而

h′（x）>1- + - =1- 2>0.

（注：這是不同于參考答案的巧妙解法.）

所以h（x）在（1，+∞）上單調遞增，從而h（x）>h（1）=a，即ax2-lnx- +e1-x>a在x>1時恒成立，即f（x）> -e1-x在（1，+∞）上恒成立. 故a∈ ，+∞.

順便指出，用幾何畫板容易探索出答案.據說，本題是借用幾何畫板命制的.

思路探究3 高等數學背景之一（用洛必達法則探求并發現a的邊界值）

a（x2-1）>lnx+ -e1-x（x>1）

？圳a> （x>1）.

令φ（x）= ，則問題變為a>φ（x）（x>1）恒成立，從而只需a大于φ（x）的最大值或上確界. 憑經驗，函數φ（x）的最大值或上確界可能在端點x=1處取得. 但此端點x=1不在φ（x）的定義域內，因此，問題可以變為先探求φ（x）在端點x=1處的右極限.

φ（x）= = = . 由此可猜想：a≥ .

下面證明：

（1）當a= 時，必有 x2- -lnx> -e1-x（x>1），

即x2-2lnx- +2e1-x-1>0（x>1）.

令h（x）=x2-2lnx- +2e1-x-1（x>1），則

h′（x）=2x- + -2e1-x>2x- + -2· >2- + =21- 2>0，

所以h（x）在（1，+∞）上單調遞增，所以h（x）>h（1）=0.

（2）當a> 時，利用（1）的結論，有

ax2-a-lnx=a（x2-1）-lnx> （x2-1）-lnx> -e1-x.

（3）當a< 時，同思路探究1.下面都不再贅述.

思路探究4 高等數學背景之二（利用拉格朗日中值定理）

令g（x）=ax2-a-lnx- +e1-x（x>1）.

要證明ax2-a-lnx- +e1-x>0（x>1）（ ），

（？鄢）成立？圳g（x）>0（x>1）

（x）>g（1）（x>1）

>0（x>1）

存在ξ∈（1，x），使得g′（ξ）>0

g′（ξ）=2aξ- + -e1-ξ>0，ξ∈（1，x）

2a> - + ·e1-ξ，ξ∈（1，x）.

下面計算 - + e1-ξ的最大值或上確界.

方法1： - + e1-ξ< - + · <1- + - =1- ·1- 2<1.

所以2a≥1，即a≥ .

方法2：令 =t，則q（t）=2t2-t3（00，q（t）在（0，1）上單調遞增，q（t）max

數學解題教學應重視思路的分析、探索與發現，在思路分析過程中提倡先估后算、先猜后證、多想少算. 思維是數學之魂，數學思維既包括在解題思路的探索與發現過程中常用到的估算、預判、猜想、歸納、類比、頓悟等直覺思維，又包括對數學算式精確計算、對數學命題嚴格證明的邏輯思維. 上述解題思路的探索與發現，問題解決的嚴謹與圓滿，無疑對培養學生良好的數學思維能力是有益的.