《等差數列》第一課時說課稿

王秀文

[摘 要] 本文通過研究幾個現實生活中的實例，歸納出一般等差數列的概念；并且根據歸納猜想和累加法得到了一般等差數列的通項公式，進一步也由例題和變式，使學生加深對這一特殊數列的認識和理解，以便能更好地把握其性質.

[關鍵詞] 等差數列；公差；通項公式

教材分析

《2.2等差數列》是人教A版新課標教材《數學》必修5第二章第二節的內容.數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用. 一方面，本節內容是在學習了數列的一些基本知識之后，轉入對特殊數列——等差數列的學習. 另一方面，學習等差數列為以后學習等差數列的性質、等差數列的前n項和公式提供了學習的基礎，更為以后學習等比數列提供了類比的依據.

等差數列在日常生活中有著廣泛的應用. 因此，教科書中配置了大量的實際生活中的等差數列問題，目的是希望學生能通過對日常生活中實際問題的分析，建立等差數列模型，用相關知識解決一些簡單的問題. 在這個過程中形成等差數列的概念，加深對等差數列性質的理解，初步培養學生運用等差數列模型解決問題的能力.

本節課中，教科書還力圖體現等差數列與方程、一次函數之間的聯系.

學情分析

對于高二的學生，知識經驗已經比較豐富了，也具備了一定的抽象思維能力和演繹推理能力. 并且學生之前的兩課時已經學習了《數列的概念與簡單表示法》，對數列的概念以及數列的通項公式，學生也有了一定的理解，這也為本課時的學習奠定了一些基礎，學生也有能力通過一些特例得出這一特殊的等差數列的概念，并能進一步探究推導出等差數列的通項公式，以及進行實際問題的研究. 不同學習基礎的學生，課前有不同的要求，在課上討論時，基礎好些的學生負責把本組內的待優生帶好，爭取共同進步.

教學目標

根據數學課程標準、教材內容以及學情的分析，確定本節課的教學目標如下：

（一）知識與技能目標

理解等差數列的概念；掌握等差數列的通項公式，并了解其推導過程及思想；初步引入“數學建模”的思想方法并能運用. 培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力；在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力.

（二）過程與方法目標

在教學過程中采用討論式、啟發式的方法使學生深刻地理解不完全歸納法、疊加的方式探索等差數列的通項公式. 通過與一次函數的圖像類比，探索等差數列的通項公式的圖像特征與一次函數之間的聯系.并且培養學生嚴密準確的數學表達能力；培養學生的觀察能力、邏輯推理能力和合作探究能力；培養學生由特殊到一般的思維能力.

（三）情感態度與價值觀

通過對等差數列的研究，使學生明確等差數列與一般數列的內在聯系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點，加強理論聯系實際，激發學生的學習興趣.培養學生主動探索、勇于發現的求知精神；養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣.

教學重點、難點

教學重點：理解等差數列的概念；探索并掌握等差數列的通項公式，會用公式解決一些簡單的問題，體會等差數列和一次函數之間的關系.

教學難點：概括通項公式推導過程中體現的數學思想方法.以及從函數方程的觀點看通項公式，并會解決一些相關的問題.

學法與教法

學生經過一段時間的學習，具備了一定的抽象概括和歸納推理的能力，對于基礎薄弱的學生，在授課時，要注重從具體的生活實例出發，注重引導、啟發學生研究和探討，從而促進思維能力的進一步發展. 激發學生學習數學的興趣，體會學習成功的快樂，增強學習的信心.

在教學過程中，依據教學內容，從現實生活中的特例引入，讓學生歸納出等差數列的概念，強化學生由特殊到一般的數學思想，然后讓學生進而推導出等差數列的通項公式，組織和啟發學生獲得公式的推導思路，并且充分引導學生展開自主、合作、探究學習，通過生生互動、師生互動等形式，讓學生在問題解決中學會思考，學會學習.

教學手段：多媒體，投影儀

教學過程

教學過程包括以下幾個環節：

（一）獨立自學

1. 走進探知園，導入新課

教師提出問題：上兩課時我們學習了《數列的概念與簡單表示法》，你能回顧一下數列的定義是什么？它的幾種表示方法有哪些呢？

設計意圖：這樣處理是為了讓學生從中學會提出問題、研究問題的方法.

學生回答：按照一定順序排列的一列數稱為數列；數列的表示方法有：列舉法、通項公式、遞推公式、圖像法.

教師提出問題：我們知道實數之間有四則運算，那像數列這樣的一類特殊的數之間運算和性質又是怎樣的呢？下面我們從特殊的數列入手研究這些問題.看這樣一些數列的例子：（課本36頁的4個例子）

①0，5，____，____，____，____，…；

②48，53，58，63，____，…；

③18，15.5，13，10.5，8，____，…；

④10072，10144，10216，10288，10360，

____，….

請你們在橫線上填寫相應的數據，并觀察上述數列①②③④從第2項起，每一項與前一項的差分別又是什么呢？

設計意圖：給出等差數列的現實背景，讓學生切實感受到等差數列是現實生活中大量存在的數列模型. 通過觀察，給了學生一定的思考和探索的空間，讓他們自己通過觀察、歸納、猜想等認識到等差數列的特性.

學生回答：第一個數列依次填寫10，15，20，25，差為5；第二個數列填68，差為5；第三個數列填5.5，差為-2.5；第四個數列填10432，差為72.

教師提問：給出的這四個例子有什么共同特點嗎？

設計意圖：引導學生逐一觀察它們的特征，并進行概括. 這時，一方面引導學生觀察相鄰兩項間的關系，另一方面要結合對這四個數列的具體探索，讓學生通過“歸納”和“概括”發現數列①②③④的共同特征.

學生回答：這四個數列，從第2項起，每個都具有相鄰兩項差為同一個常數的特點.

教師：由以上的探討我們可以看出，這四個數列的共同特征：從第2項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數（即等差）；我們給具有這種特征的數列起一個名字叫等差數列. 這就是我們這節課要研究的數列.

2. 探究新知，歸納概念

等差數列的定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫作等差數列，這個常數就叫作等差數列的公差，公差通常用字母d表示.

教師提問：大家能嘗試用遞推公式描述等差數列的定義嗎？小組內討論一下.

設計意圖：讓學生利用前后知識的聯系，把文字語言轉化成數學符號語言.

學生回答：對于數列{an}，若_____，則此數列是等差數列，d叫作公差.

教師：定義中注意的地方是什么呢？若把從第2項起，改為從第3或4項起，還是等差數列嗎？應該如何理解呢？

設計意圖：學生在學習中經常遇到一些概念，能否抓住定義中的關鍵字，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學好數學及其他學科的重要一環. 因此教師應該教會學生如何深入理解一個概念，以培養學生分析問題、認識問題的能力.

學生討論回答：“從第二項起”、“后項減去前項”、“同一個常數”. 從第3或4項起，數列{an}就不是等差數列了，但是去掉第1、2兩項后，可以看作是等差數列.

教師提問：上面四個數列都是等差數列，它們的公差分別是什么呢？你還能舉出日常生活中等差數列的一些例子嗎？我們上節課學習的三角形數：1，3，6，10，…；正方形數：1，4，9，16，…；斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55，89，…等是等差數列嗎？

設計意圖：讓學生用聯系的觀點看問題，培養實際中的發現能力.

學生回答：公差依次是：5，5，-2.5，72. 舉辦奧運會的年份：1896，1900，1904，…；男士襯衫的尺碼：37，38，39，40，41， 42，43，44，45等. 三角形數、正方形數以及斐波那契數列都不是等差數列.

教師：在上節課中，我們知道一個數列的通項公式對這個數列的研究有重要的意義.那么同學們思考一下，數列①②③④的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什么？

學生舉手回答：數列①通項公式為5n-5，數列②通項公式為5n+43，數列③通項公式為-2.5n+20.5，數列④通項公式為72n+10000.

教師：很好，這位同學用上節課學到的知識求出了這幾個數列的通項公式，實質上這幾個通項公式有共同的特點，無論是在求解方法上，還是在所求的結果方面都存在許多共性，下面我們來共同思考等差數列的通項公式求法.

（二）合作互學

1. 小組交流，合作探究

等差數列的通項公式

教師：一般地，如果一個等差數列{an}的首項是a1，公差是d，則據其定義可得什么？

學生回答：a2-a1=d，

a3-a2=d，

a4-a3=d，

…….

an-an-1=d.

教師：很好，所以可以得到什么呢？

學生繼續回答：a2=a1+d，

a3=a2+d=a1+2d，

a4=a3+d=a1+3d，

……

教師提問：很好，你能由此規律，歸納出等差數列的通項公式嗎？

設計意圖：讓學生自己猜想通項，體會歸納、猜想在得出新結論中的作用.

學生回答：由上述各式可以歸納出等差數列的通項公式是an=a1+（n-1）d.

教師：由此看來，如果已知等差數列的首項和公差，就可求出來它的通項公式. 但是，這個公式只是等差數列通項公式的猜想，要是證明的話，需要用到數學歸納法或迭代法.這里我用疊加法給大家證明一下.

{an}是等差數列，所以

an-an-1=d，

an-1-an-2=d，

an-2-an-3=d，

……

a2-a1=d.

以上n-1個式子，兩邊分別相加得

an-a1=（n-1）d.

所以

an=a1+（n-1）d.

這樣我們就通過疊加法證明得出了等差數列的通項公式了，以后在題目中可以直接使用了.

教師：等差數列的通項公式：an=a1+（n-1）d（n∈N*）. 這個式子包含幾個量呢？它和一次函數有什么關系呢？在下面的例題中我們分別看一下.

教師：下面我們來做下例題，看看如何運用等差數列的通項公式.

2. 典題剖析，運用新知

例1：（1）求等差數列8，5，2，…的第20項；

（2）-401是不是等差數列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？

教師提問：（1）中這個等差數列的首項和公差分別是什么？你能求出它的第20項嗎？

學生回答：首項和公差分別是a1=8，d=5-8=-3，又因為n=20，所以由等差數列的通項公式，得a20=8+（20-1）×（-3）=-49.

教師：好！下面我們來看看第（2）小題怎么做.

由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得數列通項公式為an=-5-4（n-1）=-4n-1.

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得-401=-4n-1成立，解之得n=100，即-401是這個數列的第100項.

設計意圖：讓學生把方程思想和通項公式相結合，解決等差數列的問題. 實質上通項公式就是an，a1，d，n這四個量所組成的方程（知道其中三個，我們可以求第四個量）.

說明：（1）強調當數列{an}的項數n已知時，下標應是確切的數字；（2）實際上是求一個方程的正整數解的問題.這類問題學生以前見得較少，可向學生著重點出本問題的實質：要判斷-401是不是數列的項，關鍵是求出數列的通項公式an，判斷是否存在正整數n，使得an= -401成立.

例2：已知數列{an}的通項公式an=pn+q，其中p，q是常數，那么這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什么？

例題分析：

教師提問：由等差數列的定義，要判定{an}是不是等差數列，只要根據什么？

學生回答：只要看an-an-1（n>1）是不是一個與n無關的常數.

教師：那好，大家在練習本上自己試著來求一下.

學生做：取數列{an}中的任意相鄰兩項an與an-1（n>1），求差得：an-an-1=（pn+q）-[p（n-1）+q]=p（與n無關的常數）. 所以我們說{an}是等差數列，首項a1=p+q，公差為p.

教師強調：（1）若p=0，則{an}是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，…；

（2）若p≠0，則an是關于n的一次式，從圖像上看，表示數列的各點（n，an）均在一次函數y=px+q的圖像上，一次項的系數是公差p，直線在y軸上的截距為q. 所以當公差p>0時，數列{an}為遞增數列，當公差p<0時，數列{an}為遞減數列.

（3）數列{an}為等差數列的充要條件是其通項公式為項數n的一次型函數.

3. 當堂檢測，交流展示

（1）求等差數列3，7，11，…的第4項與第10項.

分析：根據所給數列的前3項求得首項和公差，寫出該數列的通項公式，從而求出所求項.

解：根據題意可知a1=3，d=7-3=4，所以該數列的通項公式an=3+4（n-1）=4n-1，所以a4=4×4-1=15，a10=4×10-1=39.

評述：關鍵是求出通項公式，要求學生注意解題步驟的規范性與準確性.

（2）100是不是等差數列2，9，16，…的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由.

分析：要想判斷一個數是否為某一個數列的其中一項，其關鍵是要看是否存在一個正整數n值，使得an等于這個數.

解：根據題意可得a1=2，d=9-2=7.因而此數列通項公式an=2+7（n-1）=7n-5.

令7n-5=100，解得n=15，所以100是這個數列的第15項.

（3）-20是不是等差數列0，-3 ，-7，…的項，如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由.

（4）已知數列的通項公式an=6n-1.問這個數列是等差數列嗎？若是等差數列，其首項與公差分別是多少？（讓學生進一步體會等差數列的通項公式和一次函數的關系）

（5）已知等差數列{an}的通項公式an=3-2n，則它的公差d為（ ）

A. 2 B. 3 C. -2 D. -3

（6）若數列{an}的通項公式為an=10+lg2n，試說明數列{an}為等差數列.

（三）導學提升，課堂小結

教師提問：（1）本節課你們學了什么？（2）等差數列的判斷方法有哪些？（3）用到的數學思想方法有哪些？

設計意圖：讓學生反思、歸納、總結，以此來培養學生的概括能力、表達能力.

學生回答：通過本課時的學習，首先要理解和掌握等差數列的定義及數學表達式an+1-an=d（n≥1，n∈N*），其次要會推導等差數列的通項公式an=a1+（n-1）d.

教師：本課時的重點是通項公式的靈活應用，知道an，a1，d，n中任意三個，應用方程的思想，可以求出另外一個.最后，還要注意一重要關系式an=pn+q（其中p，q是常數）的理解與應用.判斷一個數列是否為等差數列，有兩種方法：定義法、通項公式法.體會歸納猜想的方法、累加法、方程及函數等數學思想方法.

（四）布置作業：課本第40頁，習題2.2 A組第1題.