基于多元表征 促進全面理解

陸建

[摘 要] 兩角差的余弦公式有多種表征形式，從多元表征的視角實施兩角差余弦公式的教學，有助于學生從多角度深刻理解公式、把握公式，從而發展學生的數學思維能力，提升學生的數學核心素養. 本文從多元表征的教學價值、表征形式的合理選擇、表征出現的順序設計、表征理解的持續深化等方面對兩角差余弦公式的教學提出了建議.

[關鍵詞] 表征；多元表征；理解；兩角差的余弦公式

表征作為認知心理學的核心概念之一，是指在對象不呈現的情況下，替代這個對象的任何符號或符號集[1] . 在數學教育領域，數學表征本質上是指能夠反復替代某一數學學習對象的任何符號或符號集. 數學表征可區分為內在表征和外在表征，即以語言、文字、圖形、符號、具體物或實際情境等反映數學學習對象的外在形式和存在于個體頭腦里而無法直接觀察的心理活動的表征[2] .

根據認知心理學和教育心理學領域中對多元表征的定義：同一學習對象用敘述性表征和描繪性表征的多種形式表現出來，數學多元表征的定義基本上與認知心理學、教育心理學中一致，是指同一數學學習對象應該具有的多種表征形式. 它能夠具體形象地刻畫一個數學對象的多元屬性，而且各種表征形式之間往往是相互滲透、相互聯系、相互轉化的. 運用多元表征有助于學生全面理解數學對象的本質、加深對數學對象的認識，從而完善認知結構，形成穩固的知識體系，進一步提升數學素養.

兩角差的余弦公式是高中數學必修4第三章第1節的內容，此前學生已經學習了任意角三角函數的概念、同角三角函數的關系及誘導公式，具備了公式推導的基礎. 同時它又是推導和角余弦公式、和（差）角正弦及正切公式、倍角公式的基礎，不僅公式本身滲透了轉化與化歸的思想，而且公式的推導過程也蘊含了豐富的數學思想方法，具有較高的思維價值和教學價值. 高一年級學生剛剛從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡，是運用多元表征形式優化思維訓練、深入理解數學對象的關鍵階段.從多元表征的視角理解兩角差余弦公式的教學，對于學生提高對公式的理解，發展學生的數學思維能力，順利實現初高中數學學習的銜接都有積極的意義. 本文擬從多元表征的視角，談談對兩角差余弦公式教學的一些思考，懇請同仁批評指正.

“兩角差的余弦公式”的多元表征

兩角差的余弦公式具有豐富的表征形式，可以用敘述性表征和描繪性表征進行刻畫，教師應盡可能全面地梳理它的多種表征形式，為合理設計課堂教學方案準備充足的素材.

1. 符號表征：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，也可簡略地刻畫為“cc+ss”. 符號化是數學高度抽象性和概括性的反映，運用符號表征，可以幫助學生牢固掌握公式的結構特征，培養學生的理性思維能力；簡潔優美的公式蘊含了數學之美、數學之簡、數學之奇，有利于提高學生的數學審美情趣和數學鑒賞能力.

2. 文字表征：兩角差的余弦等于它們的余弦之積加上正弦之積的和，也有教師為便于記憶，把它形象地描述為“闊闊加莎莎”. 學生能夠多用精練準確的文字語言表述公式，這不僅有利于對公式的準確理解和長時記憶，還有助于提升學生數學語言的修養和表達交流的能力.

3. 向量表征：構造起點為原點O，終點分別在單位圓上的向量a，b，并設a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），則a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，可以證明a·b=cos（α-β），于是就有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.運用向量表征，充分發揮了向量數形兼具的本質屬性，揭示了向量與三角函數的聯系，體會向量在解決三角問題中的工具性作用，為后續學習奠定基礎.

4. 距離表征：在直角坐標系xOy中，單位圓O與x軸交于點P0，以Ox軸為始邊分別作出角α，β，α-β，其終邊分別和單位圓交于點P1，P2，P3（如圖1），則這幾個點的坐標分別是（1，0），（cosα，sinα），（cosβ，sinβ），（cos（α-β），sin（α-β））.

由△P1OP2？艿△P0OP3得，P1P2=P0P3. 再根據兩點間距離公式可得P1P =2-2（cosαcosβ+sinαsinβ），P0P =2-2cos（α-β），從而公式成立. 距離表征溝通了三角函數定義與公式的聯系，運用兩點間的距離公式表征等式兩端，鞏固了解析法的應用，滲透了解析幾何的基本思想.

圖1

5. 圖形表征：通過構造平面幾何圖形，將α，β，α-β“鑲嵌”其中，用相關線段表示三角函數，以形助數，運用圖形的幾何性質推導公式，實現數與形的有機結合和高度統一，從而感悟數學和諧、體驗數學美感. 當α，β為銳角時，可構造如下圖形（如圖2、3） [3]：

圖2

再設OB=1，不難推導cos（α-β）=OA=OC+CA=cosαcosβ+sinαsinβ.

6. 情境表征：通過創設生活情境引出兩角差的余弦公式，讓學生經歷建構數學模型和數學應用的過程，激發探究的動力和學習的興趣，增強應用意識，領悟公式的應用價值.

情境1：如圖4是我們學校教學樓架設網絡管線的橋架，因創建“智慧校園”的需要，想把它焊接改造為較大的橋架（如圖5）[4] ，試確定最佳焊接點E.

圖4

圖5

我們可以從中抽象出如下數學問題，在Rt△ABD中，∠ABC=∠AEC=90°，∠DAB=α，∠CAB=β，AC=1，求AE的長.

對AE進行“算兩次”，一方面AE=cos（α-β），另一方面AE=AD-DE=

-CDsinα= -（BD-BC）·sinα= -（cosβtanα-sinβ）sinα=……=cosαcosβ+sinαsinβ，從而同樣可以得到公式是成立的.

情境2：小王同學過生日，在切蛋糕時發現了一個數學問題. 表述如下：現把一個圓形蛋糕抽象為單位圓，并置于坐標系中（如圖6）[4]，設∠AOC=α，∠BOD=β，α，β>0，α+β< ，現沿OA，OB切兩刀，試探究△AOB面積，從中你能發現什么結論呢？

這里可對△AOB面積“算兩次”，首先S△AOB= cos（α+β），其次S△AOB=S矩形OCED-（SRt△AOC+SRt△BOD+S△ABE）=cosαcosβ- ·cosαsinα+ cosβsinβ+ （cosα-sinβ）·（cosβ-sinα）= （cosαcosβ-sinαsinβ）.

所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，再用-β代β，即可得差角的余弦公式.

7. 模型表征：通過用△和□表示單角、復角、任意角甚至任意實數，這樣公式變成cos（Δ-□）=cosΔcos□+sinΔsin□，模型表征能夠幫助學生理解公式的結構特征，體會公式對任意角均成立，從而明確公式應用的廣泛性.

對“兩角差的余弦公式”的教學思考

學生學會數學的一個明顯標志就是會對各種表征進行系統間的轉換和互譯. 兩角差的余弦公式處于和差角公式、倍角公式的“上位”，是推導其他公式的基礎，充分地理解并運用這個公式對后面學習將起到事半功倍的效果. 筆者建議專門用一節課學習該公式，讓學生充分地經歷公式的探究發現過程，領悟各種表征形式的實質，引導多元表征的轉化和互譯，建立各種表征形式之間的聯系. 因此合理利用各種表征，優化教學設計，提高課堂效率是值得研究的.

1. 對多元表征的教學價值要充分認識

智力的核心是思維，思則明，明則通，通則變. 思維能力是學習和獲得數學知識的主要能力，著名教育家贊可夫曾說過“教會學生思考，這對學生來說是一生最有價值的本錢”，因此培養思維能力是公式教學的一項主要任務. 在兩角差的余弦公式教學中，如果照本宣科，缺少挑戰性問題的驅動，那么就很難激發學生探究的欲望.若從多元表征的視角，通過精心設計的問題引領，一定能吸引學生的眼球，調動學生的內驅力，從而加密學生思維的寬度、拓展學生思維的深度，對培養發散思維、優化思維品質大有好處，同時也有利于學生養成多角度思考問題的習慣，自覺形成將知識進行聯系遷移的意識.

在實際教學中，不少教師對公式的表征一帶而過，不愿意在多元表征上下工夫，而把教學的重點放在公式應用、習題操練上，是典型的“公式教學草草收場，題目訓練匆忙登場”的現象，學生對差角的余弦公式似懂非懂、死記硬背，從而影響了知識的良性接受. 究其原因是教者平時缺少學習鉆研、缺少歸納提升，對多元表征不理解、無思考.因此我們要深入鉆研教材，博采眾長，加強學習，提升對教學內容的理解. 在兩角差的余弦公式教學中，合理選擇表征形式、恰當安排表征出現的順序，引導幫助學生建立各種表征形式之間的聯系，不斷提高學生對這種系統間或系統內表征的轉化與互譯能力，從而全面準確地理解公式，掌握其中蘊含的數學思想方法，長此以往，對提高學生的知識遷移聯系能力、提升學生的數學素養大有幫助.

2. 對表征形式的選擇要合理務實

盡管兩角差的余弦公式有多種表征形式，但并非越多越好，由于學生在一節課中所能接受的信息量是有限的，要想把所有的表征形式全交給學生，既做不到也不可能. 事實上太多的表征信息可能會造成學生理解上的困難和混亂，反而得不償失. 因此，必須根據教情和學情，對表征形式做出合理的選擇.

數學語言包含文字語言、符號語言、圖形語言，能否用這三種語言表征數學對象并能進行相互轉換，是數學思維成熟的標志之一. 文字表征、符號表征、圖形表征是三種基本形式，對理解兩角差的余弦公式必不可少. 教學中應緊扣文字表征和符號表征，而圖形表征在于說明可以用幾何圖形表示兩角差的余弦公式，但由于構圖復雜、技巧性強、適用范圍窄，學生在短時間難以想到，還是留給學生課后思考或研究性學習更為合適.

新課程實施模塊化教學，對各模塊教學順序沒有統一規定，各學校往往采取不同的順序展開教學，如1→2→3→4→5，1→4→5→2→3，1→4→2→5→3等等，在必修4教學前學過必修2，則可引入距離表征；但若先學必修4，則距離表征就不適宜了. 另外情境表征在運用時也要慎重，這兩個情境雖然生活氣息濃厚，背景也比較熟悉，但理解有一定困難，不易從中抽象出數學模型，而且情境1對三角變換要求很高，情境2由于沒有學習過正弦定理，在計算△OAB面積有一定的難度.所以情境表征不宜作為課堂引入的材料，可以作為探究題，布置學生課后研究拓展，對公式進行再認.

3. 對表征出現的順序要精心設計

各種表征出現的不同順序安排會影響學習者對學習對象的理解，應該在仔細分析教學內容的基礎上，在遵循學生認知規律的前提下，以符合知識發展的邏輯連貫來安排表征出現的順序.

就兩角差的余弦公式而言，筆者認為可采用“向量表征→距離表征→符號表征→文字表征→模型表征”的呈現順序.首先以蘇教版必修4第90頁上的22題為引例，創設問題情境，引入向量表征，形成對該公式的感性認識；然后再構造向量嚴格證明，進一步完善對向量表征的認識，并利用蘇教版必修4第104頁探究題，在向量表征的基礎上，以向量模的計算公式為依據，運用距離表征證明該公式，進一步形成理性認識；然后用符號語言概括公式特征、分析結構特點，并進行文字語言表征；強調公式對任意角均成立，提煉出模型表征. 這樣的設計基于學生完成向量知識的學習，并緊扣教材，符合“最近發展區”的理念，應該說是比較合理的.

4. 對多元表征的理解要持續深化

兩角差的余弦公式是學生接觸的第一個三角恒等變換公式，復雜難記，不可能一次完成整個認知過程，教學中要重視公式的推導和發現過程，重視三角變換中的思維過程和其中的數學思想方法，在后面的教學中要持續深化，采取措施促進學生對多元表征的理解.

學生熟練把握公式的模型表征是對該公式學習的最高境界，要將對模型表征的理解貫穿于整個三角變換公式的教學過程之中，比如以-β代換β推出“α+β”的余弦公式，以 -（α-β）代換α-β推出“α-β”的正弦公式，令α+β=θ，α-β=φ推出和差化積公式等等，在角的代換過程中，逐步把握模型表征的內涵，理解整體代換的方法和化歸與轉化的思想. 在習題課教學中，諸如（α+β）-（α-β）=2β，α+ - =α，2α+ =2α- + 等利用已經角與欲求角之間的關系，來解決問題的題型，也是訓練學生理解模型表征的好素材. 教學中可聯系蘇教版必修4第113頁15題及閱讀欄目《弦表與托勒密定理》，布置研究性學習材料，鼓勵學生參與構造圖形驗證公式，從而深化對圖形表征的理解.此外公式的正用、逆用、變形應用，添置輔助角公式等都能鞏固符號表征，強化學生對知識的聯系與遷移，完善自身的認知結構.

參考文獻：

[1] 艾森克MW，基恩MT. 認知心理學[M]. 高定國等譯. 上海：華東師大出版社，2002：361-368.

[2] 胡云學等. 基于多元表征的平方差公式教學研究[J]. 數學通報，2014（3）：33-35.

[3] 洪昌強，陳淑麗. 讓學生的思維在教學中自然流淌[J]. 中學數學教學參考：上旬，2013（1/2）：25-27.

[4] 魏韌.追求自然樸實的數學教學[J]. 數學通報，2014（11）：16-18.