高中函數參數問題的解題策略探究

鄭雨辰

【摘 要】本文是以新課標高中數學教材為參考點，通過幾個具有代表性的例題，根據目前高中教學大綱，探究并分析了高中函數參數問題的解體方法及策略。

【關鍵詞】數形結合；等價轉換；分情況分析；函數構造法

縱觀目前高中數學的教學大綱以及歷年來高中數學的各種考題，函數與參數相結合的考察題型變得越來越常見，與此同時，這類題型也成為許多同學的頭疼點。函數之所以具有一定難度，主要是因為具有參數的函數的處理比較復雜。

下面筆者根據高中教學實際和自身多年探究，簡要分析了高中函數問題的解體策略及方法。

一、題型：參數的“恒成立”與“存在性”

（一）參數的“恒成立”問題

這一類問題一般分為兩種題型：一類是對于定義域X∈R上的恒成立問題；另一類是對于在R的某個子區間恒成立的兩種題型。例如：

例1：若aX2+3X-1<0在X∈R上恒成立，求a的取值范圍。

這道題是對于X∈R上的恒成立問題。

例2：X2+2X-a<0在X∈[0，2]上恒成立，求a的取值范圍。

這道題是對于在R的某個子區間上恒成立的問題。

（二）參數的“存在性”問題

例4：若存在X∈[-1，2]，使得X2+2X-a<0成立，求a的取值范圍。

這道題屬于存在性問題，常與恒成立問題混淆。

二、解題策略及方法

（一）數形結合法

在數學解題過程中，有許多題目解題過程復雜，僅靠列式理解困難。對于某些參數問題，采用數形結合的方法就會變得非常直觀易懂，并且很容易就可以分析出這道題存在的幾種情況.

例如例題4，這道題屬于存在性問題，首先我們可以對這道題目進行一下變形，將原不等式轉變為a>X2+2X，存在X∈[-1，2]。由于是存在性問題，只需要Y=a，的圖像出現高于函數Y=X2+2X的圖像的部分即可，所以只需a大于Y=X2+2X在[-1，2]區域上的最小值即可。所以這道題的答案便很容易求解出來a>-1。

在求解與參數有關的一系列函數問題時，利用數形結合法可以將問題更加直觀形象，甚至可以把一個非常復雜抽象的函數問題轉變為一個或幾個式子求解出來。例如下面這個例題：若不等式|x-2a|≥1/2+a-1對X∈R恒成立，求a的取值范圍。這是一個恒成立問題，用數形結合的方法求解很簡單。作出y=|x-2a|和y=1/2+a-1的簡圖，按照題意應有2a≤2-2a，所以a≤1/2。

（二）等價轉換法

在數學的解題中，常常會碰到一題多解，也就是說，一個題目可以有很多種解法，一部分題目運用等價轉換的思想就可以輕松解得。的等價轉換的思想，就是將函數的參數問題轉變為另一個函數的值域問題，即通過一系列的變形將原有的函數問題轉變為“a>f（x）”或“a

下面，我們就用等價轉換的思想對上文列舉出來的例題進行求解。

對于例二：X2+2X<0在X∈[0，2]上恒成立，求a的取值范圍。將移到等式右邊即可轉換為aX2+2X>，因此本題就可以轉換為求函數Y=X2+2X在X∈[0，2]上的值域。由于是恒成立問題，a只需要大于函數Y在該值域上的最大值就可以了，因此a>8。

等價轉化法是有關參數的函數問題中最常用的方法之一，有的問題如果將等價轉換的思想與數形結合思想結合起來會使問題更加簡便。下面我們來探究一下

分情況分析以及函數構造思想在函數解題中的應用。

（三）分情況討論

在函數的一些題目中尤其是含參數時經常需要分情況討論，分情況討論的基本原則就是條理、全面。下面我們通過例題1來簡單地對分情況討論進一步的了解。

對于例1：若aX2+3X-1<0在X∈R上恒成立，求a的取值范圍。首先依然將帶有參數的項移到等式一邊，轉變為aX2<-3X+1，因此這個題目就需要對最高次項的參數a的取值進行討論，主要分為以下幾種情況：a=0，a>0以及a<0這三種情況，當a=0時，則轉變為-3X+1>0在實數集上恒成立，顯然不滿足題意，故舍去，對于a>0及a<0兩種情況，則可以結合函數圖像中二次函數的開口及最值進行求解。通過分情況討論，可以將負責的函數求解過程變得系統、條理、不重不漏。

（四）構造函數法

構造函數法是一種經典的數學思想方法。通過構造函數，利用函數的性質來解決與函數有關的數學問題，具有很強的靈活性和實效性。在函數的求解過程中，有時我們很難對原函數進行直接求解，那么我們便可以提取其中的一部分構造成性質，結構相對簡單的函數進行分析，亦可以利用拼湊的方法構造出性質明顯，易于分析的函數。下面，我們通過一個例題簡要分析：

若a∈[-1，2]時函數f（x）=ax2+2x+a-1的值大于0，求x的取值范圍。

通過分析可以發現這個題目與我們之前求解的題目都不同，上文的題目都是給定自變的范圍，求解參數的范圍，而這道題恰恰相反，在之前的練習中，我們已經對求解參數的問題的解決方法相對熟練，那么這道題是否可以轉變一下，構造成上文題目的形式呢？答案是可以的。我們將原題進行一下變換，轉變為f（a）=（x2+1）a+2x-1這樣一來，我們就把原函數構造成一個以a為自變量的簡單的一次函數，接下來我們就可以將a看作自變量，將x看作參數進行求解。

結語

高中的函數題目是一種很抽象的題目，這也是函數題難做的主要原因，尤其是帶有參數就更加增大了解題的難度。因此高中生應學會靈活的運用各種方法，將函數題變得直觀，簡單。再此之前，牢固地掌握函數基礎知識和性質實際靈活解決函數問題的前提。同時，高中生應對函數題保持一種樂于挑戰的心態，碰到復雜的函數題不退縮，一些靈活地轉換就可以將復雜轉變為簡單。

【參考文獻】

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