一種評估環形電感繞組損耗的方法

，

(福州大學電氣工程與自動化學院，福建 福州 350108)

1 引言

在開關電源中，磁性元件扮演者重要的角色。磁性元件的損耗是影響效率的重要因素。隨著開關頻率提高，由于繞組的集膚效應和臨近效應越顯嚴重，評估繞組損耗也越顯得重要。目前評估繞組損耗主要有兩種方法：一是采用有限元軟件仿真，二是采用數學模型理論分析。兩者各有利弊：有限元仿真可以計算復雜模型，精度高，但是需要大量的計算機資源和時間為代價，而且，不適合優化設計；數學模型計算方便，易于繞組優化，但只能解決相對簡單的結構，而且精度較低。

從上世紀60年代起，國外就有學者致力于繞組損耗的理論計算。著名學者P.L.Dowell提出的繞組一維等效模型至今仍被廣泛采用。Dowell模型是把繞組等效成銅箔計算，其等效原則是：①磁力線必須平行于等效銅箔的長邊；②等效前后保持直流電阻不變。針對平面PCB繞組和E-E或E-I等磁芯結構的繞組損耗已有不少的研究成果，然而環形磁性元件的研究甚少。

基于此，本文從Dowell模型入手，分析環形電感的繞組損耗。

2 Dowell模型的表達形式

2.1 直角坐標系下的Dowell模型

針對PCB繞組，傳統的變壓器繞組等結構，均可以將繞組等效成銅箔，采用直角坐標系建立模型，如圖1所示。

在圖1中，銅箔繞組的寬度為D，高度和深度為單位長度(1m)，磁力線平行與銅箔導體的長邊，磁場強度的幅值分別為H1和H2。

根據電磁場理論可知到體內的電磁場分布滿足式方程組(1):

圖1 一維銅箔繞組模型

(1)

電流密度和電場強度滿足媒介方程：

J=γE

(2)

在正弦激勵下，可以從(1)和(2)中推導出導體內部的磁場分布函數：

▽2H-jωμγH=0

(3)

在給定邊界條件:

(4)

可以得到導體內部的電流密度分布如式(5)所示：

(5)

其中λ=jωμγ，相應的繞組損耗可以表示為：

(6)

2.2 柱坐標系下的Dowell模型

圖2 環形繞組模型

對于有的結構，例如環形電感的內外層繞組，更適合等效成圓環，如圖2所示。在圖2中等效導體的內半徑為Ri，外半徑為Ro。磁場方向為θ方向，內外半徑處的幅值分別為H1和H2。導體內部的磁場強度分布仍然滿足方程(3)。

方程(3)在柱坐標系下展開是一個變系數的二階微分方程：

(7)

方程(7)經過變形后可以改寫為一個修正的Bessel方程：

(8)

(9)

可以得到導體內部的電流密度分布如式(10)所示。

(10)

式(10)中λ=jωμr，I0，K0分別表示零階第一類修正的Bessel函數和零階第二類修正的Bessel函數，I1，K1分別表示一階第一類修正的Bessel函數和零階第二類修正的Bessel函數。相應的繞組損壞可以表示為：

(11)

3 環形電感的繞組損耗計算

環形電感的繞組損耗可以分為兩個部分計算，分別是磁環內外層繞組和上下層繞組。

3.1 內外層繞組損耗計算

以環形電感的內層繞組為例。假設磁環內半徑為R1，外半徑為R2，導線的線徑是d，導線和磁環表面的距離是δ。以磁環圓心為坐標原點，建立柱坐標系，將繞組等效成圓環狀。繞組等效過程如圖3所示。

圖3 柱坐標系下Dowell模型繞組等效

根據直流電阻不變的原則，先把各個圓形截面的導體變成等面積的扇環。然后把各個扇環連接成一個圓環，填充整個區域。為保證繞組等效前后直流電阻不變，相應的電導率應修正為：

(12)

式(12)中N表示電感繞組的匝數;γ0表示導體的電導率。

取線徑d為0.9mm，δ為0.2mm，對比R1為5mm的仿真值和柱坐標系下Dowell模型計算結果如圖4所示。在頻率20～500kHz范圍內，誤差均在10%以內。

圖4 R1為5mm的內層繞組單位長度電阻

針對外層的繞組，采用與內層繞組相同的等效方法。取線徑d為0.9mm，δ為0.2mm，對比磁環外半徑R2為8.33mm的仿真值和柱坐標系下Dowell模型計算結果如圖5所示。

同樣的線規和頻率范圍內，當磁環的外徑R2增加到16.67mm。計算的單位長度電阻如圖6所示。

圖5 R2為8.33mm的外層繞組單位長度電阻

圖6 R2為16.67mm的外層繞組單位長度電阻

從圖5和圖6可以看出，在磁環外徑較小的時候，外層繞組之間的間距較大，磁場具有二維特征，除了θ方向的磁場外，ρ方向的磁場同樣不可忽略。因此，計算的誤差大。當磁環外徑較大的時候，外層繞組排列緊密，磁場基本上只有θ方向，滿足Dowell模型的等效原則。因此，誤差可以降低。

3.2 上下層的繞組損耗計算

上下層的繞組損耗與內外層的繞組損耗相當，但是與內外層的繞組相比，上下兩層的繞組的空間分布具有三維特征，不易計算。若將磁環展開，雖然可以簡化為二維模型，但是改變了磁場分布。繞組損耗的根源在于磁芯的磁壓降產生漏磁場，漏磁場切割繞組產生渦流，引起損耗。因此，將磁芯去除，引入等效電流元，用電流來代替磁芯的磁壓降。將環形電感沿半徑ρ(R1<ρ

磁芯的總磁壓降為NI，均勻分布到每個電流元上，可以得知電流元的電流為I。磁芯展開后建立仿真模型，磁力線分布如圖8所示。從圖8可以看出，在A1和A3區域磁力線不滿足繞組上實際的磁場分布。中間區域A2，磁力線分布和實際的磁場分布基本一致。為減小端部磁場對中間導體的影響，導體數量應該足夠多，考慮到對稱性，若電感繞組匝數為N匝，展開后用N+1匝來等效。可以計算導體1的損耗來表征任意一匝的繞組損耗。

為了方便計算，將線徑為d的導體等效為邊長為d的正方形導體，如圖9所示。在導體上各個邊均勻取多個點計算磁場。

圖8 上下層繞組的周圍磁場分布

圖9 圓形導體等效為正方形導體

由于所有導體的電流均為z方向，采用磁矢位A作為中間變量。在直角坐標系下，源點坐標為(x0,y0)，場點坐標為(x,y)，那么磁矢位A可以表示為：

(13)

上式中R0表示磁矢位參考點與坐標原點的距離。通過對磁矢位求旋度即可得到場點(x,y)處的磁場強度。

(14)

通過三次樣條插值可以得到等效導體四個邊上的磁場強度。插值法得到的磁場強度和仿真的磁場強度如圖10所示。

圖10 仿真和計算的磁場強度

從圖10可知，導體1四周的磁場具有二維特征，除了很強的x方向磁場外，y方向磁場同樣不可忽略在。因此，有必要采用二維的Dowell模型計算。當導體四周的磁場是位置的函數時，采用Dowell模型無法得到解析解，為了方便計算，各個邊的磁場強度分別用平均值來表示，即：

(15)

圖11 兩維Dowell模型

磁環在某一固定半徑ρ下展開，導體1四個邊的磁場方向如圖11(a)所示。在H1x和H3x作用下，感應電流只是關于y的函數；在H2y和H4y作用下，感應電流只是關于x的函數。因此，可以將x方向磁場和y方向磁場分別考慮，導體內部的電流密度可以看成是直流的電流密度JDC加上x方向和y方向磁場產生的感應電流的電流密度Jy(x)和Jx(y)，即。

J(x，y)=Jy(x)+Jx(y)+JDC

(16)

取圖11(b)中的安培環路，可以得到方程:

(17)

對式(17)求兩次導數可以得到：

(18)

根據法拉第電磁感應定律和媒介方程:

(19)

帶入式(18)可以得到電流密度和磁場強度的方程：

(20)

式(20)中，γ是修正的電導率，

(21)

給定邊界條件:

(22)

可以算出電流密度Jy關于x的函數:

(23)

同理，根據圖11(c)可以得到x方向磁場產生的感應電流Jx(y)：

(24)

假設導體在R1和R2之間等分成M份，上下兩個面的繞組損耗可表示為：

(25)

磁環高度h為5mm，線徑d為0.9mm，導體與磁芯的間距δ為0.2mm，給定每匝導體之間的間距為1.4mm。在頻率20～500kHz范圍內，導體1的單位長度損耗的仿真值和計算值如圖12所示。

圖12 導體1的單位長度電阻

4 實驗驗證

電感除了繞組損耗外還包括磁芯損耗，直接測量電感的電阻實際上是包括磁芯損耗的等效電阻，因此很難得到實際的繞組電阻。然而，空心環形電感和帶磁芯環形電感的磁場分布基本一致，繞組損耗相差微小。因此，可以采用空心環形電感的繞組電阻來替代實際的電感電阻，也不會引入磁芯損耗的影響。圖13(a)是繞制的空心電感。內徑8.58mm，外徑13.85mm，高度8.12mm，采用線徑0.9mm的漆包線均勻繞制46匝。圖13(b)是內徑16.77mm，外徑28.63mm，高度16mm，采用線徑0.9mm的漆包線均勻繞制87匝。在頻率20kHz至500kHz時，測量和計算的繞組電阻分別如圖14(a)和(b)所示。

圖13 空心電感

從圖14可以看出，在頻率20kHz～1MHz范圍內(即線徑和集膚深度的比值在2～13之間)，最大誤差在15%以內。

5 結語

磁性元件的繞組損耗是影響開關電源效率的重要因素。本文首先從直角坐標系和柱坐標系下的一維銅箔模型推導繞組損耗的數學模型。接著分析環形電感的繞組損耗，分為兩個部分計算。

圖14 空心電感電阻測量值和計算值

內外層的繞組損耗基本滿足柱坐標系下的一維銅箔模型，當繞組繞制較為緊密的時候，采用柱坐標系下的Dowell模型計算不至于帶來較大的誤差。

直接計算上下層的繞組損耗難度較大，通過用電流元代替磁芯磁壓降的方法將磁環展開成二維結構。采用二維Dowell模型計算中間一匝的繞組損耗。

實驗驗證表明，通過該方法可以估算出繞組的電阻，并且誤差可以控制在15%以內。誤差來源主要有兩個部分：一是模型本身存在誤差，尤其是計算外層繞組損耗，該模型誤差較大。二是手工繞制的電感各匝之間的間距不均勻，影響實驗結果。

[1] P.L.Dowell.Effects of eddy currents in transformers windings[J].Proc.IEEE,1966,113(8)：1387-1394.

[2] 曠建軍.開關電源中磁性元件繞組損耗的分析與研究[D].南京航空航天大學,2007.

[3] CHEN Wei,HUANG Xiaosheng,ZHENG Juanjuan.Improved Winding Loss Theoratical Calculation of Magnetic Component with Air-gap[C].IEEE PEMC,Harbin,China,2012:471-475.

[4] Ningning Wang,Terence O′Donnell,Cian O′Mathuna.An Improved Calculation of Copper Losses in Integrated Power Inductors on Silicon[J].IEEE Trans.On powerelectronics,2013,28(8):3641-3647.

[5] Roberto Prieto,José A.Cobos,Oscar García,Pedro Alou,Javier Uceda.Study of 3-D magnetic components by means of “double 2-D” methodology[J].IEEE Trans.on Industrial Electronics,2003，50(1):183-192.

[6] SJ 2281-88.磁性氧化物或鐵粉制成的環形磁芯的尺寸[S].

[7] 葉建盈，陳為.一種有氣隙磁元件高頻繞組損耗的測量評估方法[J].中國電機工程學報,2015,35(7)：1749-1755.

[8] 王傳榮,朱玉燦,徐榮聰.大學數學(三)[M].北京：科學出版社,2007:228-232.