分類思想在教學中的應用

嚴小玲

《數學新課程標準（2011年版）》在總目標第一條提出：“通過義務階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”在總目標中，又從四個方面（知識技能、數學思考、問題解決、情感態度）對基本思想作出這樣的闡述：“學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式。”

那么“基本思想”包括哪些呢？東北師范大學校長史寧中教授將基本思想界定為：抽象思想、推理思想和模型思想。很多專家學者認為數學思想是有層次的，這三個基本思想屬于較高層次，并由此演變、派生、發展出很多其他的較低層次的數學思想，比如分類思想就是其中的抽象思想之一。

從知識的角度而言，把知識從宏觀到微觀不斷地進行分類學習，既可以把握全局、又能夠由表及里，細致入微，有利于形成比較系統的數學知識結構和構建良好的認知結構。當人們面對比較復雜的問題，有時候無法通過統一的研究或者整體研究解決，需要把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結論綜合，使問題得到解決，這種解決問題的思想方法就是分類的思想方法。

分類數學思想作為解決問題的一般的思想方法，它在小學數學學習中廣泛應用，它是培養學生有條理地思考和良好的數學思維品質的一種重要而有效的方法。分類思想在教學中的應用主要體現了它的哪些作用呢？我認為：應用分類數學思想，不但可以培養學生有序地、有條理地去思考并解決問題，還可以在解決問題中促進學生高級思維的發展；在學習過程中把積累的知識應用分類的分法，還可以形成系統的知識結構，進一步促進學生對知識的理解；分類思想作為常用的一種思想，它并不是單一地存在于教學過程中，常常也滲透著其他的數學思想。

一、應用分類培養思考的條理性

數學新課程標準（2011年版）在總目標第二條提出“運用數學的思維方式進行思考”。數學思考的部分特征包括有順序地、有層次地、全面地、有邏輯性地思考，分類討論就是具有這些特征的思考方法。

分類的規則與解決問題的步驟是：①根據研究的需要確定同一分類的標準。②對研究對象進行分類，所有的子項之間既不能“交叉”也不能“從屬”。③逐類逐級進行討論。④綜合概括、歸納得出最好的結論。

二、應用分類促進思維的高級發展

數學新課程標準（2011年版）在總目標第二條提出“運用數學的思維方式進行思考，增強發現問題和提出問題的能力，分析和解決問題的能力。”在總目標中的數學思考方面又作出這樣的闡述：“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識。”數學中大量的公式、定律、性質，概念需要不斷地實踐與總結才能被發現，分類討論有助于提高學生的觀察能力，歸納總結規律的能力，并在潛移默化中培養學生的邏輯思維，抽象思維以及創新思維。

例如，三年級下冊的一道練習題：“用0、2、4、6可以組成多少個沒有重復數字的兩位數？”

如何正確地寫出這些數，并且做到不遺漏也不重復呢？顯然，對于小學生而言，此類問題如果用有關排列組合的方法來解決，會存在著很大的難度。只有利用分類討論的方法，通過數位表對符合條件的數進行一一列舉，確定分類的標準：十位上的數可以是2、4、6，但是不能是0；在確定分為三類之后再一一列舉數：十位上是2的數有20、24、26；十位上是4的數有40、42、46；十位上是6的數有60、62、64；一共有9個兩位數。

在采用分類學習過程中，學生通過觀察兩位數的十位上的數的特征，采用分類討論的方法，培養了學生的觀察能力；通過分類列舉數，學生的歸納推理能力得到了提升，也初步感知了排列與組合的抽象思想，對它們的含義通過列舉演繹過程得到進一步理解，培養了學生解決問題的邏輯性和緊密性。

三、應用分類構建良好的知識結構

歸納法是數學中常用的一種學習方法，它屬于分類思想。在小學階段數學的教學內容是按照一定的類別進行單元學習，到高年級時，學生對知識的存儲量達到了一定的程度，需要對學過的知識進行分類，從而構建出完整的知識體系。完整的知識體系的構建有利于幫助學生提高學生的記憶并且靈活應用解決問題。對知識的歸納與整理，需要根據知識的共性進行分類整理，通過對比共性與異性，找出知識之間的內在聯系，構建清晰的知識體系。

四、應用分類滲透其他的數學思想

在分類討論的學習過程中，也滲透著其他的數學思想與方法。在小學階段的三大領域知識（數與代數，圖形與幾何，統計與概率）的學習中，經常應用到分類思想與集合思想。分類思想與集合思想也有比較密切的聯系，知識的分類無時不滲透著集合的思想，集合思想也離不開分類，一個元素是否屬于一個集合，標準是明確的。

例如在認識“公因數”的教學中，通過分類學習，不但滲透了分類的數學思想，還滲透了集合的思想。

師：同學們，今天我們一起來玩一個游戲。請學號是12的因數的同學站到講臺的左邊。

學號是12的因數的學生（1、2、3、4、6、12）站到左邊。

師：再請學號是16的因數的同學站到講臺的右邊。

學號是16的因數的學生（1、2、、4、8、16）站到右邊。

師：你們發現了什么？

生：我發現了學號是1、2、4的同學從左邊站到右邊去了。

師：為什么他們兩邊都站了呢？

生：因為1、2、4不僅是12的因數，還是16的因數。

這時候，教師就適當地引出：什么是公因數——就是兩個數共有的因數。

師：學號是1、2、4的同學應該站在左邊還是右邊？

生：應該站在中間。

教師：為什么呀？

學生：因為它們都是兩邊的因數。

教師：如果用集合來表示，可以怎樣表示呢？

這時，教師用兩條不同顏色的繩子分別把是12和16的因數的學生分別圈起來，學生觀察并發現：1、2、4號的學生同時被兩條繩子圍住。在教學中，學生參與游戲活動，在游戲活動中利用站隊的方法，把12和16的因數進行分類，初步感悟公因數這個抽象的概念，在分類活動中感悟分類思想，在具體形象中概括出公因數的抽象定義；同時利用繩子圍圈的辦法，讓學生感悟到集合思想。

責任編輯黃日暖

見習編輯黃博彥