分類思想在教學中的應用

嚴小玲

《數(shù)學新課程標準（2011年版）》在總目標第一條提出：“通過義務階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。”在總目標中，又從四個方面（知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度）對基本思想作出這樣的闡述：“學會獨立思考，體會數(shù)學的基本思想和思維方式。”

那么“基本思想”包括哪些呢？東北師范大學校長史寧中教授將基本思想界定為：抽象思想、推理思想和模型思想。很多專家學者認為數(shù)學思想是有層次的，這三個基本思想屬于較高層次，并由此演變、派生、發(fā)展出很多其他的較低層次的數(shù)學思想，比如分類思想就是其中的抽象思想之一。

從知識的角度而言，把知識從宏觀到微觀不斷地進行分類學習，既可以把握全局、又能夠由表及里，細致入微，有利于形成比較系統(tǒng)的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu)。當人們面對比較復雜的問題，有時候無法通過統(tǒng)一的研究或者整體研究解決，需要把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決，這種解決問題的思想方法就是分類的思想方法。

分類數(shù)學思想作為解決問題的一般的思想方法，它在小學數(shù)學學習中廣泛應用，它是培養(yǎng)學生有條理地思考和良好的數(shù)學思維品質(zhì)的一種重要而有效的方法。分類思想在教學中的應用主要體現(xiàn)了它的哪些作用呢？我認為：應用分類數(shù)學思想，不但可以培養(yǎng)學生有序地、有條理地去思考并解決問題，還可以在解決問題中促進學生高級思維的發(fā)展；在學習過程中把積累的知識應用分類的分法，還可以形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，進一步促進學生對知識的理解；分類思想作為常用的一種思想，它并不是單一地存在于教學過程中，常常也滲透著其他的數(shù)學思想。

一、應用分類培養(yǎng)思考的條理性

數(shù)學新課程標準（2011年版）在總目標第二條提出“運用數(shù)學的思維方式進行思考”。數(shù)學思考的部分特征包括有順序地、有層次地、全面地、有邏輯性地思考，分類討論就是具有這些特征的思考方法。

分類的規(guī)則與解決問題的步驟是：①根據(jù)研究的需要確定同一分類的標準。②對研究對象進行分類，所有的子項之間既不能“交叉”也不能“從屬”。③逐類逐級進行討論。④綜合概括、歸納得出最好的結(jié)論。

二、應用分類促進思維的高級發(fā)展

數(shù)學新課程標準（2011年版）在總目標第二條提出“運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，分析和解決問題的能力。”在總目標中的數(shù)學思考方面又作出這樣的闡述：“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。”數(shù)學中大量的公式、定律、性質(zhì)，概念需要不斷地實踐與總結(jié)才能被發(fā)現(xiàn)，分類討論有助于提高學生的觀察能力，歸納總結(jié)規(guī)律的能力，并在潛移默化中培養(yǎng)學生的邏輯思維，抽象思維以及創(chuàng)新思維。

例如，三年級下冊的一道練習題：“用0、2、4、6可以組成多少個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)？”

如何正確地寫出這些數(shù)，并且做到不遺漏也不重復呢？顯然，對于小學生而言，此類問題如果用有關(guān)排列組合的方法來解決，會存在著很大的難度。只有利用分類討論的方法，通過數(shù)位表對符合條件的數(shù)進行一一列舉，確定分類的標準：十位上的數(shù)可以是2、4、6，但是不能是0；在確定分為三類之后再一一列舉數(shù)：十位上是2的數(shù)有20、24、26；十位上是4的數(shù)有40、42、46；十位上是6的數(shù)有60、62、64；一共有9個兩位數(shù)。

在采用分類學習過程中，學生通過觀察兩位數(shù)的十位上的數(shù)的特征，采用分類討論的方法，培養(yǎng)了學生的觀察能力；通過分類列舉數(shù)，學生的歸納推理能力得到了提升，也初步感知了排列與組合的抽象思想，對它們的含義通過列舉演繹過程得到進一步理解，培養(yǎng)了學生解決問題的邏輯性和緊密性。

三、應用分類構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)

歸納法是數(shù)學中常用的一種學習方法，它屬于分類思想。在小學階段數(shù)學的教學內(nèi)容是按照一定的類別進行單元學習，到高年級時，學生對知識的存儲量達到了一定的程度，需要對學過的知識進行分類，從而構(gòu)建出完整的知識體系。完整的知識體系的構(gòu)建有利于幫助學生提高學生的記憶并且靈活應用解決問題。對知識的歸納與整理，需要根據(jù)知識的共性進行分類整理，通過對比共性與異性，找出知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建清晰的知識體系。

四、應用分類滲透其他的數(shù)學思想

在分類討論的學習過程中，也滲透著其他的數(shù)學思想與方法。在小學階段的三大領(lǐng)域知識（數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何，統(tǒng)計與概率）的學習中，經(jīng)常應用到分類思想與集合思想。分類思想與集合思想也有比較密切的聯(lián)系，知識的分類無時不滲透著集合的思想，集合思想也離不開分類，一個元素是否屬于一個集合，標準是明確的。

例如在認識“公因數(shù)”的教學中，通過分類學習，不但滲透了分類的數(shù)學思想，還滲透了集合的思想。

師：同學們，今天我們一起來玩一個游戲。請學號是12的因數(shù)的同學站到講臺的左邊。

學號是12的因數(shù)的學生（1、2、3、4、6、12）站到左邊。

師：再請學號是16的因數(shù)的同學站到講臺的右邊。

學號是16的因數(shù)的學生（1、2、、4、8、16）站到右邊。

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)了學號是1、2、4的同學從左邊站到右邊去了。

師：為什么他們兩邊都站了呢？

生：因為1、2、4不僅是12的因數(shù)，還是16的因數(shù)。

這時候，教師就適當?shù)匾觯菏裁词枪驍?shù)——就是兩個數(shù)共有的因數(shù)。

師：學號是1、2、4的同學應該站在左邊還是右邊？

生：應該站在中間。

教師：為什么呀？

學生：因為它們都是兩邊的因數(shù)。

教師：如果用集合來表示，可以怎樣表示呢？

這時，教師用兩條不同顏色的繩子分別把是12和16的因數(shù)的學生分別圈起來，學生觀察并發(fā)現(xiàn)：1、2、4號的學生同時被兩條繩子圍住。在教學中，學生參與游戲活動，在游戲活動中利用站隊的方法，把12和16的因數(shù)進行分類，初步感悟公因數(shù)這個抽象的概念，在分類活動中感悟分類思想，在具體形象中概括出公因數(shù)的抽象定義；同時利用繩子圍圈的辦法，讓學生感悟到集合思想。

責任編輯黃日暖

見習編輯黃博彥