引導探究分析，提高學習能力

林良勇

摘 要：在課程改革背景下，從課本的一道例題出發，對探究性教學理念在實踐中的應用的教學嘗試.引導學生進行探究，通過類比圓上任意一點與任意一條直徑兩個端點的斜率之積為定值（點不在直徑上）的這個性質，進一步探究分析得到橢圓、雙曲線也有該性質，通過分析比較發現拋物線并沒有這一性質.最后舉例分析探究中所得的性質在實踐中的應用.

關鍵詞：探究性教學；圓錐曲線；斜率之積；類比歸納

引言

在教學活動中，倡導積極主動、勇于探索的學習方式，是高中新課程重要理念之一，而教師的探究性教學是該理念在課堂上的有效表現形式.探究教學應充分調動學生學習的積極性，突出學生的主體參與，讓學生經歷、體驗、參與探究知識的發生發展過程，從而激活思維，挖掘學生的潛力，有效提高學生的數學素養.

本文以課本的一道例題為例，引導學生通過類比分析、探究，總結規律，激發學生的思維，并就探究性教學這個課題作了一點嘗試，供參考.

1 案例呈現

1.1 創設問題情景

師：請大家看看這道例題：

例1：數學選修2-1（湖南教育出版社）課本76頁

已知兩定點A（-4，0），B（4，0），動點P使直線PA，PB的斜率的乘積為-，求證：動點P的軌跡方程為+=1（y≠0） [1 ].

1.2 組織學生活動

設P（x，y），由題設可得：·=-，整理得：+=1（y≠0），其軌跡是橢圓（不包含頂點A，B）.

做完例題，引導學生去觀察、比較，深入挖掘，可能就會發現此例題隱含著圓錐曲線的一個重要性質，從而讓學生體會學習數學的樂趣.

2 引導學生探究發現

師：觀察±4、-與軌跡方程中的a、b之間的關系，你能給出結論與已知條件（定點坐標、斜率之積）之間的關系嗎？

生：可以，橢圓方程+=1中，a2=16=42，b2=，-=-= -.

師：能否根據上面的發現，將該具體問題一般化，形成結論？

生：能，可以一般化為：

在平面上與兩定點A（-a，0），B（a，0）的斜率之積為定值-（a>b）的點的軌跡為橢圓，且方程為+=1（y≠0）.

師：很棒！你能否給出證明？

生：可以，設P（x，y），由題設可得：·=-，整理得：+=1（y≠0），其軌跡是橢圓（不包含頂點A、B）.

師：該結論的必要性也成立嗎？請給出證明.

生：成立！設P（x，y），由于點P在橢圓+=1上，則有y2=，所以kPA·kPB =·=-.

可概括為：

性質1：橢圓上的任意一點P與長軸的兩頂點A（-a，0），B（a，0）的斜率之積為定值- .

3 引導學生類比歸納

師（啟發）：由于圓可以看成特殊的橢圓，那么在圓中是否也有類似的性質？

生（舉手）：圓上的點對圓的任意一直徑的兩個端點（該點不在直徑上）的張角都為90°，此時斜率之積為-1.

學生歸納為：

性質2：圓x2+y2=r2上的任意一點P與圓的任意一條直徑AB（P不在AB上）的兩個端點連線，若線PA，PB的斜率存在，則它們的斜率之積為定值-1.

師（啟發）：圓可以看成特殊的橢圓，圓上的點對圓的任意一條直徑（點不在直徑上）的張角都是90°，即斜率之積為-1.類比圓的這個特殊性，橢圓中是否也有這個性質？

經過思考、分析、類比.

生：將性質1中的A，B改為短軸頂點時也是成立的！

生（補充）：其實A，B只要是關于橢圓中心即原點對稱就可以的。

師（驚喜）：能否給出證明？

生：用點差法證明，設P（x，y），A（x0，y0），B（-x0，-y0），則kPA·kPB =·=，又因為點P，A在橢圓上，則有+=1，+=1，兩式相減整理得：=-，所以直線PA與PB的斜率之積為定值-.

師生共同歸納總結，性質1可改進為：

性質3：點P為橢圓+=1上的任意一點，AB為過橢圓中心的任意一條弦，若PA，PB的斜率存在，那么斜率之積為定值，且為-.

師：非常好，得到橢圓的一個重要性質，那么類比橢圓的這個性質，能否將它進一步推廣到雙曲線？

生齊聲：可以.

學生分小組活動，經過類比、探究、分析，歸納總結為性質4.

性質4：點P為雙曲線-=1上的任意一點，AB為過雙曲線中心的任意一條弦，若PA，PB的斜率存在，那么斜率之積為定值，且為.

該性質的證明過程與橢圓性質的證明方法類似（略）.

有些小組的學生自發提問：能否進一步將該性質推廣到拋物線上？

學生陷入思考，共同探究分析確定：拋物線上沒有該性質.原因是：圓、橢圓及雙曲線都是中心對稱圖形，而拋物線不是，故沒有.

4 靈活應用，突破難點

在解選擇題、填空題時，運用此結論可以快速求解，達到小題快做、簡單做的目的，同時在解決解答題時，該結論作為中間結論，用來突破難點、障礙點，也是非常有效的！

例2： 如圖1，若雙曲線x2-y2=a2（a>0）的左、右頂點分別為A，B，點P是第一象限內雙曲線上的點，若直線PA，PB的傾斜角分別為α，β，且β=mα（m>1），那么α 的值是（ ）

A. B. C. D.

解法一：根據常規方法求解，可設P（x0，y0），則有tanα =，tanβ=，又因為x02-y02=a2，則有tanα·tanβ==1，又因為α，β∈（0，），所以α+β=，則有α=， 選D.

解法二：根據探究的結論馬上有：kPA·kPB ===1，即tanα·tanβ=1，又因為α，β∈（0，），所以α+β=，則有α=，選D.

評析：常規解法以點P（x0，y0）為參變量，可求出tanα·tanβ=1，但若能利用雙曲線中的這個重要性質kPA·kPB =，則答案輕松可得.

例3：如圖2，已知點P為橢圓+=1上異于長軸端點 A，B的任意一點，直線PA，PB分別交直線x=4于M，N兩點，以MN兩點為直徑做圓C.

（1）求圓C直徑的最小值；

（2）圓C是否恒過兩個定點？若是，求其坐標，否則說明理由.

分析一：常規解法中需設點P（s，t），求直線PA方程=直線PB方程=，再分別聯立直線x=4，可得點M（4，t），N（4，t），又因為P（s，t）在橢圓上，則有t2=3-，所以MN2==，設λ=，則（12+λ）s2-96s+192-4λ=0，因為該方程有解即 Δ≥0，則λ2-36λ≥0，所以λ≥36或λ≤0（舍去），所以MN的最小值為6.

（2）略.

分析二：設M（4，m），N（4，n），不妨設m>0，n<0，

∵kPA·kPB =-=-，∴kMA·kNB =·=-，則mn=-9，∴MN=m-n=m+（-n）≥2=6，當且僅當m=3，n=-3時，等號成立.

（2）略.

評析：該題考察學生靈活應用數學知識和方法的能力，綜合性較強，屬于難題.如果能注意到上述探究的結論，即kPA·kPB =-=-，再靈活應用化歸轉化數學思想將PA，PB的斜率轉化為MA，NB的斜率，就可以繞開中間參變量P的坐標，解題就顯得輕松快捷，這就是這個結論在解這類難題時突破難點、障礙點的一大亮點！

應用橢圓的這個重要結論可以快速解決下面這道題的第3問，讀者不妨試試.

例4：（2012年江蘇高考）如圖3，在平面直角坐標系 xOy中，M，N分別是橢圓+=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接并延長AC，交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

（1）、（2）略；

（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB.

5 反思

在探究性教學中，教師應該起著“穿針引線”的作用，適時的啟發、引導，積極調動學生的學習熱情，突出學生的主體參與，讓學生經歷、 體驗、探究知識的發生發展過程，讓學生感受到新知識從頭腦里自然的流淌出來，從而更好的培養學生學會提出問題、思考問題和解決問題的能力.學生在經歷一節課的探究活動后，收獲很大，應該鼓勵學生課后去主動尋找類似例題，來鞏固、體會、加深相關的解題思路與策略，以達到舉一反三，觸類旁通的效果.一節課的時間有限，后續應該對這類例題進行變式拓展，變式拓展是提升解題能力的有效途徑，又可以讓學生領悟新舊知識的內在聯系，提高應用知識解決問題的能力.

參考文獻：

[1]張景中.普通高中課程標準實驗教科書 數學 選修2-1（理科）[M].長沙：湖南教育出版社，2016.