直觀模型：算理與算法之間的橋梁

宋琳

計算教學在小學數學教學中占有十分重要的地位，但在教學中常常存在這樣的問題：有的老師將重點放在學生對算法的掌握上，力求學生熟練掌握計算方法，達到一定的計算速度和準確度，以培養學生數學的基本技能，而對于算理的教學則相對弱化。有的老師雖然已經認識到算理的重要作用，也重視算理的教學，但對于怎樣在課堂教學中有效落實存在困惑。

為解決以上問題，教師可以借助直觀模型，在算理與算法之間搭建一座橋梁，做到理法結合，提高學生的運算能力。

1.借助直觀模型，處理好算理與算法的關系

算理是四則運算的理論依據，由數學概念、運算定律、運算性質等構成。

直觀模型指的是具有一定結構的操作材料和直觀材料，如小棒、計數器、格子圖、數直線等。在實際的教學中，我們還會經常引用類似元、角、分、千米、米、分米等測量單位這些具有一定結構的實物材料，我們稱之為“實物模型”。但如果站在更廣義的角度來看，我們不妨把實物模型也看作是直觀模型的一種類型。

在計算教學時，學生在探索方法和理解算理過程中所出現的困難能通過直觀模型來克服嗎？在這一過程中有無直觀模型，會造成學生的學習有多大的差異？北京教育學院教師教育數理學院的張丹教授專門做了一次調研，調查對象為某小學三年級學生（共40名）。這些學生沒學過兩位數乘兩位數，但已學過兩位數乘一位數，他們要想辦法在沒有任何直觀模型的情況下計算出14×12等于多少。結果顯示，40人全部用豎式計算，其中22人基本正確（包括方法正確，雖計算時出現錯誤），18人出現較大困難。

隨后，對遇到困難的18名學生進行了訪談，并提供直觀模型——點子圖，讓他們借助點子圖完成以下任務：（1）借助點子圖思考如何計算出14×12的結果；（2）如果能夠計算出正確結果，再將計算過程寫成豎式。對于任務（1），這18名學生都能根據點子圖通過“拆數”得到計算結果；在完成任務（2）時，有8人能獨立完成，10人雖然遇到困難，但通過引導可以解決。當問及學生點子圖是否有用時，學生回答：“有用，可以把12拆成10行和2行。”因此，對比開始沒有直觀模型時學生得出結果的困難，直觀模型無疑是有用的。

那么，常用的直觀模型有哪些優勢呢？計數器的優勢在于它可以更好地幫助學生理解位值制，更加容易建立與豎式之間的關系，如相同數位上的數才能相加減的計算法則。小棒的優勢在于便于學生操作和理解。學生在建立十進制關系的時候就是利用小棒進行學習的，所以學生對于小棒的操作更加熟悉，也更易于理解算理。此外，小棒的操作比計數器更容易體現十位上的數，更容易呈現多樣的算法。點子圖的優勢，具有一定結構的、具體的、直觀的“形”，為學生理解抽象的、深奧的“理”架起了一座直通的橋梁，為師生探究算理、算法提供了一個可操作的直觀模型，從而有力促進了學生對算理的有效建構。

在學習分數乘、除法時，以直觀形象為支撐，可以幫助學生牢固掌握計算方法，同時滲透遷移、轉化的思想，從而提高學生的運算能力。

2.應用直觀模型的策略

適時呈現，解釋疑惑。在教學時，直觀模型給得“早”不如給得“巧”。教學伊始先不提供支撐算理理解的直觀模型，讓學生直接面對一個算式，看看他們能否聯系自己的數學經驗嘗試解決問題，當學生嘗試過后仍然不能解決時，再給他們提供模型。

融合貫通，建立聯系。數學知識就像是一張縱橫交錯的網，每個知識點都是一個節點，一條條知識鏈連接起了一個個的節點，從而形成了一張密密的“知識網”。我們向學生提供直觀模型時，不僅要求“全”，還要求“聯”。直觀模型、橫式、豎式之間的求“聯”，使學生的認識和思維融會貫通，這樣重要且恰到好處的穿梭串聯，能觸及知識各部分之間的聯系，對學生而言，不可或缺。

晚唐詩人杜牧告誡子女：“學非探其花，要自拔其根。”這啟示我們，在計算教學中要理法融合，用好直觀模型，理清“算理”這條根，才能探得“通理曉法”這朵花，在算理與算法之間架設一座橋梁，促進學生“清方法，明算理”，真正提高學生的“運算能力”。