一族新的離散可積雙哈密頓系統

吳迪

【摘 要】數年來，科學界對孤立子的研究呈不斷發展進步趨勢，許多領域中都存在孤立子現象以及與孤立子密切相關的問題，比如，在對無中心Virasoro對稱代數或孤立子方程進行研究時產生的可積耦合系統。目前，學術界已找到多種求解可積耦合的方法：1，攝動；2，拓展相應的Lax對；3，拓展新的Loop代數； 4，運用半直和李代數。首先通過離散零曲率方程得到一族新的可積晶格方程，再由跡-恒等式建立一個雙-哈密頓結構，最后，證明了該方程族是Liouville可積的。

【關鍵詞】可積晶格方程；雙-哈密頓結構； Liouville可積

A novel family of discrete bi-Hamiltonian systems

WU Di

（College of Mathematics and Systems Science， Shandong University of Science and Technology， Qingdao Shandong 266590，China）

【Abstract】Soliton theory research is developing in many scientific fields and there exists soliton and soliton theory closely related problems， integrable coupling system is in the center of the study without Virasoro algebra or symmetrically soliton equation. Scientists have found many integrable coupling methods： one， the perturbation method； two， expand the corresponding method of Lax on； three， extend new Loop algebra of the method； four， the use of a half straight and lie algebra method. A novel family of integrable lattice equation is derived from the discrete zero curvature equations. A bi-Hamiltonian structure of obtained family is established by discrete trace identity. Then， Liouville integrability for the obtained family is demonstrated.

【Key words】Integrable lattice equation； Bi-Hamiltonian structure； Liouville integrable

1 研究背景

自然界中有很多復雜的現象可以用可積晶格方程來描述，比如，晶體中的質子振動，自然界中的脈沖現象，電子網絡分布以及電流等等。至此，科學家們已經從多種角度對可積晶格方程進行了系統化的研究，如逆-散射轉換[1-2]，對稱和主對稱[3-4]，連續-極限和r-矩陣結構[5]，哈密頓和雙-哈密頓結構[6-9]，可積耦合系統[10-11]，由Casorati行列式建立復合解[12]，達布變換[13-14]等等。

如果一個方程族

能夠作為譜問題（3）和（4）的相容性條件

那么，方程族（1）是拉克斯可積的。

其中，離散的空間譜問題如下所示

以及如下的相應時間譜問題

其中un=u（n，t），n是離散變量，t是連續變量，n∈Z，t∈R。

晶格函數f（n）的位移算子E及其逆算子的定義為

Efn=fn+1=f（n+1），E-1fn=fn-1=f（n-1），n∈Z（5）

空間譜問題（3）和時間譜問題（4）是方程族（1）的拉克斯對，顯然，尋找適合空間譜問題（3）的新的可積晶格方程仍然是十分復雜的。此外，雙-哈密頓結構[8-9]的存在性問題是可積晶格方程的特征之一。若一族可積晶格方程具有雙-哈密頓結構，那么可以找出一個繼承算子，通過計算得到相應方程族的守恒泛函和對稱性。 跡-恒等式是建立可積晶格方程族的雙-哈密頓結構的有效方法之一[6-7]。

文章結構如下，第一節，介紹孤立子的研究背景。第二節中，我們引入一個離散的空間譜問題：

上面公式中的un= 是位勢向量，φn= 是特征函數向量，λ是譜參數并且λt=0。

第一步，選取一個合適的時間譜問題（4），第二步，運用離散零曲率方程導出一族可積晶格方程。第3節中，建立導出的可積晶格方程族的雙-哈密頓結構，然后由跡-恒等式導出其相應的守恒泛函，因此可積晶格方程族的劉維爾可積性得到證明。最后，第4節中，有一些相關的結論和評價。

2 一族新的可積晶格方程

這一節中，我們將推導出一族新的可積晶格方程。首先，求解駐定離散零曲率方程

（EΓn）Un-UnΓn=Γn+1Un-Un-UnΓn=0（7）

這里

方程族（7）的具體形式為

運用Laurent級數展開式

然后將（9）代入（8）中，得到初始條件如下所示

a -a =0，b =0，c =0

以及相應遞推關系：

根據命題[7]得知a ，b ，c ，m≥1是局部的。若取a = ，且用差分算子（E-1）的逆運算求解a ，m≥1時，我們取常數為0，因此遞推關系（10）唯一的決定了a ，b ，c ，m≥1。

經過計算得到前兩個集合如下：

假定

由（10）直接進行計算，得到

顯然，方程族（11）與（Un） 不耦合，所以選取一個修正項

假定

，m≥0

經過計算得到如下方程

顯然，修改過的方程與（Un） 耦合。

下面介紹一個適合譜問題（6）的時間譜問題：

所以，空間譜問題（6）與時間譜問題（12）的相容性條件為：

該相容性條件等價于離散零曲率方程：

因此，（13）給出了微分-差分方程族的一族可積晶格方程，如下所示

所以，方程族（14）的拉克斯對由（6）和（12）構成，因而，（14）是拉克斯可積的。

m=0時，（14）是一個平凡的線性系統

m=1時，方程族（14）首個非平凡可積晶格方程，如下所示

3 方程族（14）的雙-哈密頓結構

這一節中，任務是建立方程族（14）的雙-哈密頓結構。為了更好的進行下一步以及更深入的討論，這里介紹一些概念。

首先，（f ，g ） 表示fn與gn的標準積，R2表示二維歐式空間

值得注意的是fn，gn于無窮大處趨于0，亦即fn→0，gn→0，n→∞。

然后

表示Gateaux導數定義。

接著，等式=

若J為斜對稱算子且滿足Jacobi恒等式，則稱線性算子J為哈密頓算子。

根據參考文獻[7]，記

以及= Tr（XY），和為同階矩陣。易知

運用參考文獻【7】中的跡-恒等式

（16）

將拓展式

代入（16），并且平衡方程（16）中等式兩端的λ-2m-1系數，結果如下

（17）

一個特殊情況考慮如下，在（17）中令m=0時，經過計算得到ε=0。 因此，（17）可以寫成

- =（ε-2m）- ，

假定 = （ ），m>0

我們有 =- ，m>0，

通過計算，進一步得到

其中J=

利用方程（10）經過一定計算，得到如下遞推關系

=ψ ，m>0

這里ψ是一個2×2階矩陣。

= E 定義了變分導數。

因此可以用如下的雙-哈密頓結構重寫方程（14），如下所示

u = =J =Jψ =Jψ ，m≥1.（18）

因為方程（15）屬于方程族（14），所以，（15）具有雙-哈密頓結構：

u = =J ， = （19）

為了證明離散雙哈密頓系統（18）是劉維爾可積的，

下面引入泊松括號：

{f ，g } =< ，J >= ，J （20）

證明極大冪守恒泛函的存在是十分重要的， 為了得到結果，經過計算得到

同理得到

{ ， } =-{ ， }

由于李括號具有自反性，容易得到

{ ， } =-{ ， }

所以

{ ， } =0，m，l≥1（21）

以及

（ ）t =< ，un >=< ，J >={ ， } =0，m，l≥1（22）

由上述結論， 我們得到如下定理。

定理1

（1）{ } 是方程族（14）（或（18））的守恒泛函。在與泊松括號（20）相關的對合中成對的進行變化。

（2）方程族（14）中的方程都是Liouville可積的并且具有離散雙-哈密頓結構。

4 結論與評價

在這篇文章中，首先引入了一個離散譜問題，然后由離散零曲率方程推導出一族離散的可積微分-差分方程。通過跡-恒等式，為得到的方程族建立一個雙-哈密頓結構。然后，提出一些常見的守恒泛函，這暗指獲得的離散雙-哈密頓系統是劉維爾可積的。此外，還有其他的可積性問題值得進一步研究，例如達布變換、對稱與主對稱、可積耦合系統、半直和李代數等等。

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[責任編輯：朱麗娜]