多波束數字測深地圖正態插值重建

于家成　徐學強

【摘 要】提出了利用正態分布進行多波束系統水深地圖重建的方法，首先根據二維正態分布對距離反比權重插值算法進行改進，形成正態插值算法，用該算法對原始水深數據進行插值以模擬實際地形；繼而根據多波束系統測深原理對模擬地形進行航向東偏北45°角的水深測量，通過5個校正因子對實時測量數據進行校正；最后使用正態插值算法對改正后的測量數據重新插值，完成實時測量地圖的重建。使用某海域真實水深數據進行仿真，結果表明，校正后的實時地圖相對直接測量誤差減小了3.3米，建圖精度獲得了明顯提高。

【關鍵詞】多波束數字測深；正態插值算法；地圖重建

Normal Interpolation Reconstruction of Multibeam Digital Bathymetry Map

YU Jia-cheng1 XU Xue-qiang2

（1. Department of Electronics and Information Engineering， North China Institute of Science and Technology ， Hebei Langfang， 065201， China；2. China South Industries Research Academy， Beijing，100089， China）

【Abstract】The method that realtime multibeam digital bathymetry map is reconstructed according to the law that seabed elevation follows normal distribution is proposed. At first， inverse distance weighted（IDW） is transformed to normal distribution weighted（NDW）， then the raw depth data is interpolated using NDW to imitate actual terrain. Secondly， the imitated terrain is measured along 45 degrees north east direction and realtime data are corrected by five factors； Thirdly， the corrected data are interpolated by NDW to construct realtime terrain map. The construction process is verified by using practical water depth data of certain seafloor. Simulation results show that the reconstructed map error is decreased by 3.3m relative to previous， thus the map reconstruction precision is improved obviously.

【Key words】Multibeam digital bathymetry；Normal distribution weighted（NDW）；Map reconstruction

多波束水深測量的關鍵在于建立高分辨率的海底數字地形模型（digital terrain model DTM）[1]， 這是目前多波束數據處理研究中的一個重點。為實現大數據量離散深度數據的快速海底數字地形建模和可視化，國內外研究人員通常采用對離散深度數據進行格網化處理[2]，其實質是對深度數據進行內插，使離散分布的數據點變為規則柵格分布。根據數據量的大小，一般分為中小規模數據的插值和大規模數據的插值大類[3]。本文以單平面換能器多波束系統為例建立仿真模型，對波束的立體寬度，從橫縱兩個方向對水深測量的影響進行改正，以提高水深測量精度，在此基礎上，采用以二維正態分布構建權重的算法來構建規則格網（GRID）的DTM。

1 距離反比權重法的改進

1.1 算法原理

距離反比權重法（inverse distance weighted，IDW）基于如下的假定： 相互之間距離較近的對象相對于距離較遠的對象之間有更強的相似性。在連續的自然地形表面上所采集的離散點高程屬性符合這種假定。IDW采用周邊已經測定的采樣點（已知點）來確定未知點的數值， 距離該點位近的已知點對其數值的影響大于距離較遠的點。因此，IDW假定數據集中的每一個已知點都對該未知點存在局部的影響力，這種影響力的大小隨著距離的增大而逐漸消失。IDW給距離較近的點分配一個比較大的權值，而給較遠的點分配一個較小的權值以體現這種影響力[1]。即[4]

設空間待插點為點P（xP，yP，zP），P點鄰域內有已知離散點Qi（xi，yi，zi），i=1，2，…，n，利用距離反比權重法對P點的屬性值z進行插值。待插點的屬性值f（x，y）是待插點鄰域內已知離散點屬性值的加權平均，

zp= w（d ）z / w（d ）（1）

式中，w（di）是權函數， 其值與待插點與鄰域內離散點之間的距離有關， 是距離的k次方的倒數，w（di）=1/d2i。k值越低，插值結果越平滑，k值越高，插值結果細節越詳細，通常取為2。zi是第i個離散點的數值，di是該點到網格點之間的距離[5]。

1.2 算法改進

大量研究表明：自然地形的起伏滿足隨機分布規律，而DEM是表示地面高程空間分布的數字地面模型， 反映自然地形的起伏變化，確實服從一定的統計分布規律，一般可以用正態分布代替[6]，即以未知點為中心，未知點與周圍點之間隨位置的遠近呈現出一種正態分布的關系。未知點對自身的影響最大，具有最大的權值，周圍點隨著距離的增大權值逐漸減小，符合正態分布。對海底地形而言，點相對未知點所具有的權重為

w（d）=f（x，y）= exp = exp （2）

由于距離越遠， 影響力越小。隨著距離的增大，己知點對于未知點的影響實際上已經可以忽略不計， 為了加快運算速度， 設定這些點的權重為0。因此， 需要指定一個未知點的搜索鄰域， 只考慮位于該鄰域內的已知點對未知點所造成的影響。鄰域的形狀與數據集的特性有關： 如果權值確定不需要考慮方向性的影響， 則鄰域的形狀可以是一個圓形[6]

1.3 搜索半徑的確定

在文獻[7]中，使用一矩形作為搜索區域，對落在矩形窗內的有效數據，都進行插值。為了防止失真，設立有效數據個數門限，當矩形窗內的有效數據個數小于此下限值，則此網格節點為無效值。這個門限缺省值為1，即只有矩形窗內存在數據，該網格節點即為有效點，但是為了確保插值的準確性，推薦值為3。在本文中，為了符合正態權重公式w（d）= exp ，采用一圓形區域，如果所用網格為不完全規則的矩形網格，為了兼顧運算速度和確保插值的準確，把半徑取為最大網格的對角線長度，與文獻[1]不同的是，網格點為已知數據點，格內的任一點為待插點，這樣任意待插點都至少有4個已知點為其插值作出貢獻，也為網格大小不一時保留一定的余度，以防在待插點周圍搜索不到已知點，如圖1所示，|AB|=max（經度網格間距），|AC|=max（緯度網格間距），取搜索半徑R=|AD|。如果最大經度網格間距與最大緯度網格間距不從屬同一個網格，仍然這樣取搜索半徑。

2 多波束系統水深掃描

2.1 多波束數字測深模型

如圖2所示，設沿船體橫向（垂直龍骨方向）第i個波束投射到海底到換能器所處方向的橫向傾角為β，沿船體運動方向（平行龍骨方向）的縱向傾角為，換能器所在位置P。設船體從原點開始沿方向 航行，航速V，采樣時間T，由于存在橫縱兩個方向的波束寬度，第i個波束照射的海底離散點形成一個矩形點集Vi。

2.2 測深搜索算法設計

設船體沿以角度東偏北45°，船速6m/s，勻速直線航行50s，采樣時間1s。在進行地圖掃描時，首先把換能器中心歸結到最近網格點，以該點為中心，以2max|z|·tg（iθ）為邊長建立正方形作為搜索區域，搜索點數為int +1，（grid為網格間距）；得到ri（xn，ym），從而得到Zi、Li，腳印位置（xi，yi），按照 方向，以足夠大矩形區域進行搜索，中間波束腳印位置進行最近網格點歸結后作為向外邊緣的下一個波束的搜索區域的起點。搜索完成后產生的16×51水深數據地圖如圖3所示，由該圖可以發現，測船掃描過一段左低右高的慢坡曲面。水深在-980米～-1060米之間。

3 水深測量校正

多波束系統的測深換能器發射的聲波具有一個立體波束角，聲波到達海底或碰到不同的介質界面時返射，再被換能器接收，接收換能器收到的信號可能是在這個波束角所覆蓋的任何水深。正確深度應該是波束角所覆蓋區域的中心點水深值，顯然，它不同于聲波覆蓋區域的邊緣點水深值，因此產生水深測量誤差。此項誤差在海底水深變化較大的地方尤為明顯[4]，尤其在實測水深較深或海底坡度較大的地形時，由于存在波束寬度，往往產生地形圖等深線向斷面方向前后凸凹、彎曲的情形[8]，形成虛假地形，從而使繪制的海底地圖與實際地形存在差異。在水深測量中，是以最短距離作為記錄長度，由于存在波束寬度及地形的起伏，并且隨著波束投射角的增大，測量的誤差越來越大，尤其邊緣波束更趨明顯。在以往的實際工作中，一般認為約占10%的外側波束（左右各占5%）定義為邊緣波束，為了保證數據的精度滿足要求，常常強制性地將這些波束舍棄[9]。為了減小測量誤差，需要對測得的數據進行地形補償。

在多波束水深測量中，由于存在橫向波束寬度，隨著如圖2所示中α，β的影響。為了減小測量誤差，需要對測得的數據進行地形補償。以因子A1=cos（（i-1）θ-α）·sec（（i- ）θ-α），A2=cos（α-iθ）·sec（α-（i- ）θ），A3=sec（|（i- ）θ-α|）來校正沿船體橫向（垂直龍骨）的傾斜角；以B1= ，B2= 來校正沿船體縱向（平行龍骨）的傾斜角。校正前后的水深誤差如圖4（a）（b）所示，比較發現，校正后的水深誤差極大減小，精度提高4倍左右。

4 實時圖重建

4.1 實時圖重插值

對經過校正后的水深值，按照校正后的水深進行插值，確定插值區域的原則是，插值區域為實時掃描圖的中間矩形區域，并且最大程度的覆蓋掃描區。在掃描過程中，相鄰波束腳印之間的距離往往較大，并且隨著水深變化、地形起伏也不斷變化，在建立實時掃描地圖時需要在中間進行插值填補以連接起來，沿航行方向及其垂直方向建立規則格網，如圖5中所示矩形區域，從換能器所在航線的中點開始，向左右、上下蔓延，為保持一致，每次蔓延的網格間距與初始插值時相同（實際插值時沒此限制，可以根據需要設置）。使用ceil取整，以使得待插點都是整數個網格間距，同時又在插值區域內，其中，“×”為已知腳印點，格網的交叉點為待插值點。

使用本文1中的方法計算校正后水深的平均值和標準差，進行正態插值，建立新的水深實時測量圖如圖6（a）所示，相應的建圖誤差如圖6（b）所示。

4.2 重建誤差分析

將地圖重建后的水深值、水深測量值、測量校正值，分別與同位置原始水深進行比較，同位置原始水深值通過對初始10×10格網進行正態插值獲得，它們之間的誤差如表1所示，由表1發現，改正后的平均誤差與最大誤差都顯著減小，地圖重建后的平均誤差及最大誤差相比測量改正后的誤差進一步減小，這主要是因為在選取插值區域時選擇了掃描地區的中間矩形區域，邊緣波束被舍掉，而邊緣波束測量及改正后的誤差都在整個掃描圖中最大所致。

5 結論

本文通過正態權重的距離反比權重插值算法，對某海域的已有實際水深數據進行插值，繼而使用多波束進行掃描、校正，完成實時地圖的重建。海底地形變化多樣，細節復雜，使用5個因子的校正是近似的。同時，為了航行安全起見，可以保留適度的淺誤差，但如果取得的實時圖是為了匹配，則要提高精度，要根據實際情況，二者兼顧。

【參考文獻】

[1]馬建林，金菁，來向華.多波束測深海底數字地形模型的建立.海洋測繪，2005，25（5）：15-17.

[2]陸丹，李海森，魏玉闊，鄧平.多波束測深系統中的海底地形可視化技術研究[J].儀器儀表學報，2012，33（2）：450-456.

[3]何磊，袁德奎，陶建華.一種適用波浪潮流計算的地形插值算法[J].港工技術，2004，（4）：4-6.

[4]李章林，張夏林.距離平方反比法礦產資源儲量計算模塊設計與實現[J].地質與勘探，2007，43（6）：92-97.

[5]靳國棟，劉衍聰，牛文杰.距離加權反比插值法和克里金插值法的比較[J].長春工業大學學報，2003，24（3）：53-57.

[6]劉曉萌，常占強.數字高程模型數據分布規律的研究[J].河北師范大學學報（自然科學版），2006，30（4）：473-477.

[7]高佩蘭，關永賢.多波束海底地形圖的制作方法探討[J].海洋測繪，2012，32（4）：71-73.

[8]褚宏憲，周小明，史慧杰，馮京.水深測量誤差分析與改正[J].物探與化探，2011，35（3）：358-362.

[9]關永賢，劉勝旋，劉方蘭.多波束測深系統邊緣波束的處理技術研究[J].中國人口·資源與環境，2003，13（68）：6-7.

[責任編輯：朱麗娜]