雙重Stone代數的核理想注記

趙秀蘭， 陳麗娟

(1.黃河科技學院數理部， 鄭州450063；2.河南工程學院理學院， 鄭州451191)

雙重Stone代數的核理想注記

趙秀蘭1， 陳麗娟2

(1.黃河科技學院數理部， 鄭州450063；2.河南工程學院理學院， 鄭州451191)

在雙重Stone代數上引入核理想概念，借助核理想的性質反映雙重Stone代數的結構，在雙重Stone代數L上構造了具有核理想I的最大同余關系表達式RI，(x,y)∈RI?(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I。根據雙重Stone代數的運算特征，獲得了具有核理想的最小同余關系與最大同余關系之間的等式關系。主要結果為：設(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個雙重Stone代數，I是L的核理想，則RI=δI∨(G*∧G+)，其中(x,y)∈δI?(?i∈I)x∨i=y∨i；(x,y)∈G*?x*=y*，(x,y)∈G+?x+=y+。所得結論為其它Ockham代數類核理想性質的研究提供了方法，豐富了Ockham代數的發展，為進一步研究Ockham代數類的代數結構提供理論支持。

Stone代數;對偶Stone代數;雙重Stone代數;核理想;同余關系

引言

Ockham代數[1]是定義在分配格上的一類序代數，布爾代數、de Morgan代數、Stone代數、偽補代數等是Ockham代數的子代數[1-5]。在序代數結構的研究中，借助理想和濾子研究代數結構是學者的一個研究方向，特別是核理想與余核濾子是人們研究Ockham代數類的結構及同余關系的一個重要工具。文獻[6-16]以理想與濾子為工具刻畫代數結構。文獻[6] 在雙重Stone代數上引入核理想的概念，構造了核理想同余關系表達式，獲得了雙重Stone代數核理想判別定理。根據雙重Stone代數的運算特征及主同余表示理論，獲得了核理想同余關系的若干等價表達式并證明了雙重Stone代數核理想與其同余關系是同構的。方捷和吳麗云[8]證明了PO代數類上具有余核濾子的最小同余和最大同余。王雷波和方捷在文獻[12]中分別就雙重偽補代數的假值理想和假值同余和幾乎偽補格的核理想與W-理想[13]給出了特征表示。本文作為文獻[6]的一個補充,在雙重Stone代數核理想已有結論的基礎上,進一步討論雙重Stone代數核理想同余關系的性質。

1預備知識

定義1[1]設(L;∧,∨,0,1)是一個有界分配格，f是L上的一元運算，若:

(1)?x,y∈L，f(x∧y)=f(x)∨f(y),f(x∨y)=f(x)∧f(y)；(2)f(0)=f(1),f(1)=f(0)，則稱(L;∧,∨,f,0,1)是一個Ockham代數(簡記為O)。

定義3[1]設(L;∧,∨,0,1)是一個有界分配格，其上賦予兩個一元運算*,+，并且(L;∨,∧,*)是Stone代數，(L;∨,∧,+)是對偶Stone代數，稱(L;∨,∧,*,+)是一個雙重Stone代數。

引理1[16]設(L;∨,∧,*,+)是一個雙重Stone代數，任意的x,y∈L，則

(1)x*≤x+；

(2)x+*=x++≤x≤x**=x*+；

(3)0*=1,1*=0,x*=x***,0+=1,1+=0,x+=x+++；

(4)(x∧y)*=x*∨y*,(x∨y)*=x*∧y*；

(5)(x∧y)+=x+∨y+,(x∨y)+=x+∧y+；

(6)x*∨x**=1,x+∨x++=1。

引理2[6]設(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個雙重Stone代數，I是L的理想，則I是核理想的充要條件是(a∈L)a∈I?a**∈I。

在L上定義一個等價關系δI:(x,y)∈δI?(?i∈I)x∨i=y∨i。

在文獻[6]中,已論證過δI∈ConL且I=KerδI。

設(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個雙重Stone代數，記I(L)和KI(L)分別為L的所有理想與所有核理想構成的集合。I(L),KI(L)具有下列性質。

引理3[6]設(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個雙重Stone代數，I,J∈KI(L)，則

(1) (?φ∈ConL)I=Kerφ?δI≤φ;

(2)I≤J?δI≤δJ。

引理4[6]KI(L)是I(L)的一個子格。

定義4設(L;∨,∧,*,+)是一個雙重Stone代數，θ是L的格同余關系，若(x,y)∈θ?(x*,y*)∈θ,(x+,y+)∈θ，則稱θ是L的同余關系，符號ConL表示L的全體同余關系構成的集合。

定義5設(L;∧,∨)是一個格，I是格L的子格，若x,y∈L，y≤x∈I總有y∈I，稱子格I是格L的理想。

對偶地，F是格L的子格，若x,y∈L，y≥x∈F總有y∈F，稱子格F是格L的濾子。

2核理想的性質

設(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個雙重Stone代數，I是L的核理想，考慮定義在L上的下列關系：(x,y)∈RI?(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I，則關系RI滿足下面的定理。

定理1設(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個雙重Stone代數，I是L的核理想，則RI是具有核理想I的最大同余。

證明設I是L的核理想，定義關系：(x,y)∈RI?

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I,易見，RI滿足自反性和對稱性。

證RI的傳遞性。

設(x,y)∈RI,(y,z)∈RI,則

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I

(y*∧z**)∨(y**∧z*)∨(y+∧z++)∨(y++∧z+)∈I

由于

x*∧z**=(x*∧z**)∧(y*∨y**)=

(x*∧z**∧y*)∨(x*∧z**∧y**)≤

(z**∧y*)∨(x*∧y**)∈I

同理可得

x**∧z*=(x**∧z*)∧(y*∨y**)∈I

x++∧z+=(x++∧z+)∧(y+∨y++)∈I

x+∧z++=(x+∧z++)∧(y+∨y++)∈I

于是(x,z)∈RI,故RI是L上的一個等價關系。

證RI是L上的一個格同余關系。

設(x,y)∈RI,下證對于任意的a∈L,(x∧a,y∧a),(x∨a,y∨a)∈RI

由于

(x∧a)**∧(y∧a)*=

x**∧y*∧a**≤x**∧y*∈I

(x∧a)*∧(y∧a)**=

x*∧y**∧a**≤x*∧y**∈I

(x∧a)++∧(y∧a)+=

x++∧y+∧a++≤x++∧y+∈I

(x∧a)+∧(y∧a)++=

x+∧y++∧a++≤x+∧y++∈I

故(x∧a,y∧a),(x∨a,y∨a)∈RI，所以RI是L上的一個格同余關系。

證RI∈ConL。

設(x,y)∈RI，則

α=(x*∧y**)∨(x**∧y*)

∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I

由于在雙重Stone代數中，?x∈L,有

x***=x*,x+++=x+

x*+=x**,x+*=x++

x*++=(x*+)+=(x**)+=(x*)*+=x***=

x*,x+**=(x+*)+=x+++=x+

將(x*,y*),(x+,y+)代入α，并結合上述運算性質得

β=(x**∧y*)∨(x*∧y**)≤α

γ=(x++∧y+)∨(x+∧y++)≤α

因此β，γ∈I，即(x*,y*),(x+,y+)∈RI，于是RI∈ConL。

證I=KerRI。由于在雙重Stone代數中，0+=1,1+=0,0*=1,1*=0。設i∈I，由引理2知，i**∈I。由引理1知，i++≤i≤i**，，故i++∈I，從而有i**∨i++∈I。又因

(i*∧0**)∨(i**∧0*)∨(i+∧0++)∨

(i++∧0+)=i**∨i++=i**∈I

因此(i,0)∈RI，即i∈KerRI，所以I?KerRI。

設x∈KerRI，即(x,0)∈RI，則

(x*∧0**)∨(x**∧0*)∨(x+∧0++)

∨(x++∧0+)=x**∨x++=x**∈I，又因x≤x**，故x∈I，于是KerRI?I，因此I=KerRI。

證RI是具有核理想I的最大同余。

設θ∈ConL，I=Kerθ，令(x,y)∈θ，則(x*,y*)∈θ,(x+,y+)∈θ。

設i∈I，有i*∧i**=0，i+∧i++=0，故x*∧y**≡0(θ),x**∧y*≡0(θ),x+∧y++≡0(θ),x++∧y+≡0(θ)。

所以

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)

∨(x++∧y+)≡0(θ)

則

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)

∨(x++∧y+)∈I

從而(x,y)∈RI，故θ≤RI。定理得證。

設(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個雙重Stone代數，在L中有兩個基本同余關系：G*，G+，它們的定義為：

(x,y)∈G*?x*=y*

(x,y)∈G+?x+=y+

結合引理1中，雙重Stone代數的運算性質，易得G*，G+∈ConL。定理1中所定義的RI滿足下列推論。

推論1設(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個雙重Stone代數，I,J∈KI(L)，則

(1)R({0})=G*∧G+;

(2)I≤J?RI≤RJ。

證明(1)設(x,y)∈R{0}，由定理1得(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y++)=0，又由雙重Stone代數的運算性質知，x**=y**,x++=y++，因此(x,y)∈G*∧G+，故R({0})?G*∧G+。

另一方面，設(x,y)∈G*∧G+，則x*=y*,x+=y+，

于是得

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨

(x+∧y++)∨(x++∧y++)=0

故有(x,y)∈R{0}。所以R({0})=G*∧G+。

(2)設I,J∈KI(L)，且I≤J。由RI,RJ的定義知，RI≤RJ。另一方面，若RI≤RJ，則KerRI≤KerRJ，又由定理1的證明知，I=KerRI,J=KerRJ,所以I≤J。

設i∈(x**]∩I，則i≤x**，i∈I。因為y*∧i=y*∧i∧x**=(y*∧x**)∧i≤s∧i=0，故i≤y**，從而i∈(y**]∩I，因此(x**]∩I?(y**]∩I。

同理(y**]∩I?(x**]∩I。所以(y**]∩I=(x**]∩I。

另一方面令i∈(x++]∩I，則i≤x++，i∈I。

因為

y+∧i=y+∧i∧x++=(y+∧x++)∧i≤s∧i=0

從而i≤y++，故i∈(y++]∩I，因此(x++]∩I?(y++]∩I。

反之，設(x,y)∈α，則(x**]∩I=(y**]∩I，

(x++]∩I=(y++]∩I。

于是

(x**∧y*]∩I=(y**∧y*]∩I=0

(x++∧y+]∩I=(y++∧y+]∩I=0

同理(y**∧x*]∩I=0，(y++∧x+]∩I=0。所以，對于任意的i∈I，

[(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)

∨(x++∧y++)]∧i=0

故

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨

設(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個雙重Stone代數，I∈KI(L)，由定理1知，關系RI是具有核理想I的最小同余，由引理2和引理3知，關系δI是具有核理想I的最大同余。它們滿足下列的等式關系。

定理3RI=δI∨(G*∧G+)

證明設(x,y)∈RI，則α=(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y++)∈I，根據雙重Stone代數的運算性質得，x**∨α=y**∨α，x++∨α=y++∨α。由同余關系δI，G*，G+的定義可得

所以

(x,y)∈G*∨δI,(x,y)∈G+∨δI

因此

(x,y)∈(G*∨δI)∧(G+∨δI)=

(G*∧G+)∨δI

于是得RI≤δI∨(G*∧G+)。

另一方面，由引理2知I=KerδI,又推論1知δI≤RI，易見G*∧G+≤RI，故δI∨(G*∧G+)≤RI。

綜上即得RI=δI∨(G*∧G+)。

3結束語

理想是研究Ockham代數類的結構及同余關系的一個重要工具，結合核理想的性質，使人們對抽象的相關Ockham代數類的結構及同余關系有一個清晰的認識，有助于了解雙重Stone代數的結構, 所得結論為其它Ockham代數類核理想性質的研究提供了方法, 同時豐富了序代數結構理論。

[1] BLYTH T S ,VARLET J C.Ockham algebras[M].Oxford: Oxford University Press,1994.

[2] BLYTH T S ,VARLET J C.On a common abstraction of de Morgan algebras and Stone algebras[J].Proc.Roy.Soc.Edinburgh,1983,94A:301-308.

[3] FANG J.Distributive Lattices with Unary Operations[M].北京:科學出版社,2011.

[4] 方捷.格論導引[M].北京:高等教育出版社,2014.

[5] GRATZER G.Lattice Theory[M].New York:W.H.Freeman and Company,1971.

[6] 趙秀蘭,陳麗娟. 雙重Stone代數的核理想[J].四川理工學院學報:自然科學版,2017,30(1):88-91.

[7] 黎愛平,章書文.雙重Stone代數的素理想與同余關系[J].上饒師范學院學報,1999,19(6):12-15.

[8] 方捷,吳麗云.擬補Ockham代數的理想與濾子[J].數學學報.2004,47(4):647-652.

[9] 趙秀蘭,劉潔.偽補MS-代數的核理想與同余關系[J].江西師范大學學報:自然科學版,2014,38(6):565-568.

[10] 羅從文.MS-代數的核理想[J].應用數學,2001,14(1):39-41.

[11] 趙秀蘭,初元紅,史西專.雙重偽補Ockham代數的理想與濾子同余關系的注記[J].汕頭大學學報:自然科學版,2016,31(1):35-40.

[12] 王雷波,方捷.雙重偽補代數的假值理想的一點注記[J].純粹數學與應用數學,2012,28(1):119-122.

[13] 王雷波,方捷.幾乎偽補格的核理想與W-理想[J].模糊系統與數學,2012,26(1):61-66.

[14] 牛超群,吳洪博.BRo代數中的*理想及其誘導的商代數[J].江西師范大學學報:自然科學版,2013,37(3):221- 224.

[15] 趙秀蘭,馬紅娟,初元紅,等.雙重半偽補de Morgan代數的濾子同余關系[J].模糊系統與數學,2015,29(4):19-26.

[16] 朱怡權.雙重Stone代數的主同余關系[J].純粹數學與應用數學,2006,22(4):520-525.

A Note on the the Kernel Ideal on Double Stone Algebras

ZHAOXiulan1,CHENLijuan2

(1.Department of Mathematics and Physics, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China;2.College of Science, Henan Institute of Engineering, Zhengzhou 451191,China)

The concept of kernel ideal on double Stone algebras is introduced , the expression of the largest congruenceRIon a double Stone algebraLwith kernel idealIis constructed, (x,y)∈RI?(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I.According to the operational characteristics of double Stone algebras, some equivalent expressions of the double Stone algebras are obtained. The main results are as follows:LetLbe a double Stone algebra, ifIis an kernel ideal ofLthenRI=δI∨(G*∧G+)，where(x,y)∈δI?(?i∈I)x∨i=y∨i；(x,y)∈G*?x*=y*，(x,y)∈G+?x+=y+.The conclusion provides a method for the study of the properties of the other Ockham algebras, and enriches the theory of ordered algebraic structures.

Stone algebras; dual Stone algebras; double Stone algebras; kernel ideal; congruence

2017-04-03

國家自然科學基金(11302072)；河南省基礎與前沿技術研究(152300410129)

趙秀蘭(1982-)，女，河南商水縣人，副教授，碩士，主要從事序代數結構方面的研究，(E-mail)xiulanz@126.com

1673-1549(2017)03-0089-05

10.11863/j.suse.2017.03.18

0153.1

A