函數(shù)列的黎曼積分的極限定理及其應用

邢家省， 楊義川， 王擁軍

(1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院， 北京100191；2.數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室， 北京100191)

函數(shù)列的黎曼積分的極限定理及其應用

邢家省1,2， 楊義川1,2， 王擁軍1,2

(1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院， 北京100191；2.數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室， 北京100191)

考慮函數(shù)列在廣義積分下的極限問題，運用函數(shù)列的極限理論，在函數(shù)列的內閉一致收斂條件下和函數(shù)列的一致有界條件下，給出了黎曼可積函數(shù)列積分的極限定理的結果；在函數(shù)列的廣義積分一致收斂的條件下，給出了廣義積分下函數(shù)列積分的極限定理結果的充分條件，給出了廣義積分下函數(shù)列積分的控制收斂定理的敘述和證明，并將這些理論方法應用于一些重要問題的解決，給出了系統(tǒng)的一般化理論方法，推進了理論發(fā)展和提高認識。

函數(shù)列的極限理論；廣義積分；內閉一致收斂；含參變量廣義積分的一致收斂；廣義積分控制收斂定理

函數(shù)列積分的極限問題是分析學中的重要內容[1-16]，然而，此重要問題在數(shù)學分析的經(jīng)典教材中一般是沒有給予充分系統(tǒng)的討論，沒有給出系統(tǒng)一般性的深刻的結果，但在數(shù)學分析的經(jīng)典習題中，又出現(xiàn)了大量的練習題目，使人們不得不用最原始的證法去重復給出解答[6-9]，沒有形成一般性的理論方法。研究發(fā)現(xiàn)，函數(shù)列積分的極限理論完全可以在數(shù)學分析中給予系統(tǒng)完整的介紹，用已有的知識基礎，就能得到深刻的理論結果，達到理論上應有的發(fā)展高度，并能解決大量的問題。在現(xiàn)有函數(shù)列的極限理論方法的基礎上，充分發(fā)掘它的功能和潛力，就能得到函數(shù)列的廣義積分的極限定理，使廣義積分下的函數(shù)列積分的極限理論得到豐富發(fā)展，便于應用。

文獻[1-16]中對函數(shù)列的積分的極限理論，從多個不同方面進行了研究，得到了一些結果，但不系統(tǒng)、不明確，沒有發(fā)展到應有的理論高度。本文在現(xiàn)有研究成果的基礎上，進行了系統(tǒng)的一般化處理，形成了一套系統(tǒng)的嚴密理論方法，豐富發(fā)展了經(jīng)典理論，達到新的認識高度。

1函數(shù)列的黎曼積分的極限定理的經(jīng)典結果

定理1[1-6]設{fn(x)}是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)列，如果{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)。則有

(1)f(x)在[a,b]上連續(xù)；

定理2[2,4,13]設{fn(x)}是[a,b]上的黎曼可積函數(shù)列，如果{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)。則有

(1)f(x)在[a,b]上黎曼可積；

定理3[1-2,4,6]設{fn(x)}是[a,b]上的黎曼可積函數(shù)列，且滿足如下條件：

(2)存在常數(shù)M>0，使得|fn(x)|≤M，對x∈[a,b],n=1,2,…；

(3)對任意a

定理4[2,4,6]設函數(shù)列{fn}的每一項都在區(qū)間[a,b]上黎曼可積，且滿足如下條件：

定理3的結論在數(shù)學分析的經(jīng)典教材[1-6]中是不曾明確寫出的，這樣導致對大量習題[1-9]不得不用原始辦法去解答，對這些習題如果套用定理3的結果就能非常簡單的解決。定理3的表述方式和證明方法，具有一般性的理論意義。

2函數(shù)列的廣義積分的極限定理的幾種形式

如果滿足條件：

(1)對任意a

由定理5的敘述和證明過程可以發(fā)現(xiàn)，定理5中的區(qū)間[a,b)可為有限區(qū)間，也可以是無限區(qū)間，即b可為有限，或為+∞。類似地，可得：

如果滿足條件：

(1)對任意a

定理6的積分下限a可為有限，也可以是-∞。

(1)對任意a

定理7中的區(qū)間(a,b)可為有限區(qū)間，也可為無限區(qū)間。

如果滿足條件：

(1)對任意B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收斂于f(x)，即{fn(x)}在(a,+∞)上內閉一致收斂于f(x)；

注意定理8中的積分下限a可以為有限的，a也可以是-∞。

如果滿足條件：

(1)對任意B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收斂于f(x)，即{fn(x)}在(a,+∞)上內閉一致收斂于f(x)；

定理7和定理8常被使用的情形是控制收斂定理。

如果滿足條件：

(1)對任意a

定理10中的區(qū)間(a,b)可為有限區(qū)間，也可為無限區(qū)間。

如果滿足條件：

(1)對任意B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收斂于f(x)；

定理5～定理11雖然是以函數(shù)列的極限形式敘述的，但完全可以寫出其它極限過程的相應結論[3-4,8-9]。

定理7～定理11中條件的敘述方式，來源于文獻[4，6]中的啟發(fā)，現(xiàn)有文獻中是不曾給出明確表述的，這里給出了具體明確的表述方式。

3函數(shù)列廣義積分的極限定理的應用舉例

于是

故

例1的結果在文獻[6,9]中是用原始的證法給出的，這里直接套用了函數(shù)列積分的極限定理的結果，方法上具有一般性。

例2的結果在文獻[6-9]中是用原始的證法給出的，并在歷史上多次作為考試題目。這里直接套用了函數(shù)列積分的控制收斂定理，給出了簡便解決辦法。

記

對任意A>0，{fn(x)}在[0,A]上一致收斂于f(0)φ(x)，利用函數(shù)列廣義積分的控制收斂定理，得

例5設φ(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)且有界，f(x,t)在(-∞,+∞)×[0,T]上連續(xù)且有界，令

證明由于

顯然右端的兩個積分是一致收斂的，且被積函數(shù)是連續(xù)的，應用一致收斂的含參變量積分的連續(xù)性定理[1-5]或者函數(shù)列積分的控制收斂定理，可得

4結束語

本文給出的函數(shù)列積分的極限理論方法和解決問題的過程，可以將文獻[1-9]中涉及的函數(shù)列積分的極限問題，給予系統(tǒng)的一般化的簡化處理，而不必每次按照原始方式重復給出[6-9]。新的理論結果方便于應用，達到新的認識高度，推進了理論發(fā)展和完善。

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Limit Theorem and Application of Functional Sequence’s Riemann-integral

XINGJiasheng1,2,YANGYichuan1,2,WANGYongjun1,2

(1.School of Mathematics, Beihang University, Beijing 100191，China;2.LMIB of the Ministry of Education,Beihang University, Beijing 100191，China)

Considering the functional sequence’s limit problems of generalized integral and using the limit theorem of functional sequence, for the functional sequence with uniform sector and local uniform convergence, the limit theorem for the Riemann-integral functional sequence is given. For the generalized integral of functional sequence with uniform convergence, the limit theorem for the integral functional sequence is given. And the integral dominated convergence theorem is also given. By applying all the results into solving some problems, systematical and general theory methods are proposed.

limit theorem of functional sequences; generalized integral; uniform convergence; uniform convergence of generalized integral with parameter; generalized integral dominated convergence theorem

2017-02-16

國家自然科學基金資助項目(11271040)；北京航空航天大學校級重大教改項目(201403)

邢家省(1964-)，男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa.edu.cn; 楊義川(1970-)，男，甘肅天水人，教授，博士，主要從事邏輯代數(shù)、序代數(shù)、軟計算及其應用方面的研究，(E-mail)ycyang@buaa.edu.cn

1673-1549(2017)03-0073-06

10.11863/j.suse.2017.03.15

O177.2

A