立體幾何最值問題的解題思路

程少輝

摘 要：立體幾何試題是高考命題的必考點(diǎn)，本文結(jié)合多點(diǎn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，詳細(xì)介紹了幾種常用的解決立體幾何最值問題的解題思路，為高考的復(fù)習(xí)規(guī)劃拋磚引玉，打開思路。

關(guān)鍵詞：高考試題 立體幾何 最值 解題

解決立體幾何試題需要有一定的空間想象力，將邏輯推理與運(yùn)算相結(jié)合，才能較好地解決此類題目。近年來，高考命題在設(shè)計(jì)和立意上開始對(duì)立體幾何試題進(jìn)行創(chuàng)新，其中立體幾何求最值的題型較多，需要重點(diǎn)關(guān)注一下該類題型的解題思路。下面針對(duì)高考題中該類型的一些題目進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析。

一、轉(zhuǎn)移

例1 如圖1，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段D1E上，則點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為_____。

分析 過點(diǎn)P作與直線CC1垂直且相交于點(diǎn)H的直線，則線段PH的長(zhǎng)度就是點(diǎn)P到直線CC1的距離，但線段PH的長(zhǎng)度的最小值不易求得。如果設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P′，則PP′//CC1，易知PH=CP′，從而點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值就等于CP′的長(zhǎng)度的最小值。這種利用平行線轉(zhuǎn)移的方法在求點(diǎn)到直線的距離或點(diǎn)到平面的距離時(shí)經(jīng)常用到。[1]

解 設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長(zhǎng)度的最小值。注意到點(diǎn)P′是DE上的動(dòng)點(diǎn)，易知：當(dāng)P′C⊥DE時(shí)，P′C的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P′C==，所以點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為。

二、對(duì)稱

例2 如圖2，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是面BCC1B1上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+PD1的最小值為_____。

分析 聯(lián)想到平面幾何中的相應(yīng)問題，可作點(diǎn)A關(guān)于平面BCC1B1的對(duì)稱點(diǎn)，從而通過對(duì)稱變換將線段AP相等地轉(zhuǎn)移到線段MP。

解 延長(zhǎng)AB到M，使BM=AB，連接AP，D1P，MP，則AP+PD1=MP+PD1≥MD1=，當(dāng)且僅當(dāng)D1、P、M三點(diǎn)共線時(shí)取“=”，所以AP+PD1的最小值為。

點(diǎn)評(píng) 例2是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最小值問題，而例2是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最小值問題，對(duì)稱變換是解決這類問題的重要手段。[2]

三、旋轉(zhuǎn)

例3 已知兩平行平面a、b之間的距離為，S∈平面a，M∈平面a，P∈平面b，N∈平面b，SP=，MN=2，求異面直線SP與MN所成角的最大值和最小值。

解 如圖3，設(shè)S在平面b上的射影為O，過S作SE//MN，交平面b于E，從而∠PSE或它的補(bǔ)角就是異面直線SP與MN所成的角。

易證SE=MN=2，從而OE=1。

將Rt△SOE以SO為軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)E的軌跡是平面b內(nèi)以O(shè)為圓心的圓，設(shè)直線PO交圓O于A、B。

在Rt△SPO中，由SP=，SO=得∠PSO=45°。

在Rt△SOA和Rt△SOB中，由SO=，SA=SB=2得∠ASO=∠BSO=30°。

因?yàn)镻A≤PE≤PB，所以15°=∠PSA≤∠PSE≤∠PSB=75°，所以異面直線SP與MN所成角的最大值和最小值分別為75°，15°。

點(diǎn)評(píng) 將Rt△SOE以SO為軸旋轉(zhuǎn)，觀察旋轉(zhuǎn)過程中∠PSE大小的變化，就能從直觀上找到∠PSE的最大值和最小值；

四、翻折

將多面體的兩個(gè)面中的一個(gè)面沿著它們的公共邊翻折，使這兩個(gè)面共面，從而使位于這兩個(gè)平面內(nèi)的幾條線段位于同一平面內(nèi)，這樣就將空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，多個(gè)面的情形也可類似處理，這就是降維的思想。

例4 如圖4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA1的最小值是_____。

解 連接A1B，沿BC1將△CBC1展開到與△A1BC1在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖5所示，連接A1C，則A1C的長(zhǎng)度就是所求的最小值。易知∠A1C1B=90°，又∠BC1C=45°，所以∠AC1C=135°，由余弦定理可求得A1C=5。所以CP+PA1的最小值是5。

五、展開

圓柱和圓錐側(cè)面（或表面）上曲線段長(zhǎng)度的最小值問題，我們一般通過作它們的側(cè)面（或表面）展開圖，再利用兩點(diǎn)之間線段最短加以解決，這是化曲為直的思想。

例5 圓錐的母線長(zhǎng)為4，底面半徑為，若在圓錐的側(cè)面繞一圈絲線作裝飾：從底面上的點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞一周回到點(diǎn)A，則這條絲線的最短長(zhǎng)度是____。

解 圓錐的側(cè)面展開圖如圖6所示，連接AA1，則AA1即為絲線的最短長(zhǎng)度，過點(diǎn)O作OC⊥AA1于C，由弧長(zhǎng)公式可求得∠AOA1=120°，∠OAC=30°。因?yàn)镺A=4，所以AC=2，AA1=4。所以這條絲線的最短長(zhǎng)度是4。

結(jié)語

綜上所述，以上所舉例題均為高考題中的經(jīng)典命題案例，值得考生深入研究分析，通過理解學(xué)習(xí)，進(jìn)一步掌握立體幾何最值問題的解題思路，從而對(duì)此類考題有一定的解題思維模式，更加從容應(yīng)對(duì)此類型題目。

參考文獻(xiàn)

[1]李巍.立體幾何創(chuàng)新題型及解題策略[J].科技致富向?qū)?2013（12）

[2]許衛(wèi)華.高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)策略分析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí).2014（03）