高考導數綜合題常用的數學思想與方法

■廣東省信宜礪儒中學 伍玲華

高考導數綜合題常用的數學思想與方法

■廣東省信宜礪儒中學 伍玲華

導數綜合題主要考查利用導數解決恒成立或證明不等式等問題。需要同學們具有較強的分析能力和計算能力,找到解決這類問題的方法是高考取得高分的關鍵。本文研究幾種常用的數學思想與方法。

一、數形結合思想

數形結合思想是解決許多數學問題的有效思想,利用數形結合使“數”和“形”統一起來,以形助數,以數輔形,可以使許多數學問題變得簡單。在導數綜合題中常用數形結合思想解決函數的單調性、最值及零點等問題。

分析:本題考查函數在給定區間上有兩個不同的根,需要通過求導研究其單調性及最值,從而畫出大致圖像,通過圖像分析,求出實數a的取值范圍。

當00,則r(x)單調遞增;當x>1時,r'(x)<0,則r(x)單調遞減,所以r(x)在x=1處取到最大值r(1)= 1。如圖1,又x→0時r(x)→-∞;x→+∞時r(x)→0,所以要使與y=a有兩個不同的交點,則有0

圖1

二、分類討論思想

在利用導數解決含參函數的單調性、極值、最值等問題時,常常要對參數進行分類討論。分類討論時應注意參數隱含的條件及要解決的問題,做到不重復、不遺漏地分類討論。

分析:利用題設中的不等式恒成立,運用導數知識逆向分析推證,借助題設運用分類討論思想及導數的知識求出參數的取值范圍。

maxh(0)=0,由題意得,則0≥λ+,結合,可知λ不存在。③當,即時, h(a)max=h(2)=6λ-8。由題意得h(a)max≥,則,結合,可知

三、構造法

導數中有一些創新題、綜合題、不等式證明題,直接求解十分困難,但通過構造恰當的函數就可以使問題迎刃而解?？v觀近幾年的高考試題,可歸納出構造函數的五種常見方法:(1)通過導數運算法則(作差、作商)構造; (2)等價變形之后構造;(3)利用結構的相似性構造;(4)局部構造;(5)換主元構造。

分析:將所要證明的式子變形,建立一個函數g(x),求導后再建立一個新的函數h(x),然后求導。需要用到兩次求導,通過最值確定正負號,再來確定原函數的單調性,進而利用函數的單調性來解不等式恒成立問題,這是解決這類問題最常見的思路方法。

解:不等式f(x)≥a對于x>0的一切值恒成立,等價于xlnx+a+e-2-ax≥0對于x>0的一切值恒成立,記g(x)= xlnx+a+e-2-ax(x>0),則g'(x)= lnx+1-a。

令g'(x)=0,得x=ea-1,當x變化時, g'(x),g(x)的變化情況如表1:

表1

所以g(x)的最小值為g(ea-1)=a+e-2-ea-1。

記h(a)=a+e-2-ea-1(a≥0),則h'(a)=1-ea-1,令h'(a)=0,得a=1。當a變化時,h'(a),h(a)的變化情況如表2:

表2

當0≤a<1時,函數h(a)在(0,1)上為增函數,,即g(x)在(0,+∞)上的最小值h(a)>0,滿足題意;

當1≤a≤2時,函數h(a)在[1,2]上為減函數,h(a)≥h(2)=0,即g(x)在(0, +∞)上的最小值h(a)≥0,滿足題意;

當a>2時,函數h(a)在(2,+∞)上為減函數,h(a)

綜上,所求實數a的取值范圍為[0,2]。

(責任編輯 王福華)